§ 2. Равенство дробей

Определения и обозначения

Дробь — это запись вида a/b, где a называется числителем, b — знаменателем, а b не равно нулю. Дробь показывает, сколько равных частей целого взяли и на сколько частей это целое разделили. Например, запись 3/5 означает, что целое разделили на пять равных долей и взяли три. Смысл дроби помогает понять, какую часть она обозначает.

Числитель дроби — число над чертой. Он показывает, сколько долей взято. В дроби 3/5 числитель равен 3, значит, речь идёт о трёх долях. По числителю можно понять количество взятых частей, но для определения самой дроби нужно также знать размер каждой доли.

Знаменатель дроби — число под чертой. Он показывает, на сколько равных долей разделили целое. Например, знаменатель 5 в дроби 3/5 говорит, что целое поделено на пять частей. Чем знаменатель больше, тем мельче становятся доли одного и того же целого.

Равные дроби — это дроби, которые обозначают одно и то же число, хотя их числители и знаменатели могут различаться. Например, 1/2 и 2/4 обозначают половину целого. Понятие равных дробей нужно, чтобы менять запись числа, не меняя его значения.

Как это устроено

Представь два одинаковых пирога. Первый разделили на 3 равные части и взяли 2 части: это 2/3. Второй сначала разделили на 3 части, а каждую из этих частей — ещё на 4 одинаковые доли; всего получилось 12 долей, и две большие части составили 8 маленьких. Значит, 2/3 и 8/12 описывают одно и то же количество пирога, хотя записаны по-разному.

Когда числитель и знаменатель умножают на одно и то же натуральное число, значение дроби не меняется. Например, если каждую пятую долю разделить на 2 равные части, доли станут вдвое мельче. Но и взять потребуется вдвое больше таких долей, чтобы сохранить прежнее количество целого. Поэтому 2/3 = (2 · 4)/(3 · 4) = 8/12.

Это рассуждение выражает основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, получив равную дробь. При умножении число долей и их размер меняются согласованно. При делении числителя и знаменателя число взятых долей и общее число долей уменьшаются в одинаковое количество раз. Делить можно только на число, которое делит оба числа без остатка.

Чтобы получить равную дробь с заданным знаменателем, сравни его с исходным. Например, в дроби 4/7 знаменатель 7 нужно превратить в 21: для этого умножить на 3. Значит, числитель тоже умножаем на 3 и получаем 12/21. Если задан числитель, действуем так же: находим, во сколько раз он отличается от исходного, и во столько же раз изменяем знаменатель.

Равенство дробей можно проверить двумя способами. Первый — привести дроби к общему знаменателю, то есть записать их так, чтобы знаменатели стали одинаковыми, а затем сравнить числители. Второй способ — перемножить числитель первой дроби со знаменателем второй и знаменатель первой с числителем второй. Если произведения совпали, дроби равны: например, для 2/3 и 4/6 получаем 2 · 6 = 3 · 4 = 12.

Как получить и проверить равные дроби

В первых двух строках таблицы числитель и знаменатель изменяются одинаково: умножаются или делятся на одно число. В последней строке выполняются два перекрёстных умножения, а затем сравниваются результаты. Выбирай способ по задаче: для новой записи — первые строки, для проверки — последняя.

Разбор задач

Задача 1. Запишите дробь, равную 3/5, умножив её числитель и знаменатель на 2. Нужно применить основное свойство: одинаковое умножение обеих частей дроби сохраняет её значение. Сначала выполним действие для числителя, затем для знаменателя. Запишем полученную дробь и убедимся, что множитель в обоих случаях один и тот же.

1. Умножаем числитель: 3 · 2 = 6.
2. Умножаем знаменатель на 2: 5 · 2 = 10.
3. Записываем результат: 3/5 = 6/10, так как обе части исходной дроби умножили на одно число.

Ответ: 6/10.

Задача 2. Заполните пропуск: 4/7 = □/21. Знаменатель изменился с 7 на 21, поэтому сначала выясним, во сколько раз увеличилось это число. Чтобы дроби оставались равными, числитель должен увеличиться во столько же раз. Так мы находим пропуск, не подбирая числа наугад.

1. Находим, во сколько раз увеличен знаменатель: 21 : 7 = 3.
2. Умножаем числитель на тот же множитель: 4 · 3 = 12.
3. Подставляем число и проверяем одинаковое изменение обеих частей: 4/7 = 12/21.

Ответ: 12.

Задача 3. Проверьте, равны ли дроби 15/21 и 25/35. Можно сократить обе дроби или сравнить перекрёстные произведения. Сокращение удобно, когда числитель и знаменатель делятся на общий делитель. В этом случае обе дроби легко привести к записи 5/7.

1. В дроби 15/21 числитель и знаменатель делятся на 3: 15/21 = 5/7.
2. В дроби 25/35 оба числа делятся на 5: 25/35 = 5/7.
3. Обе дроби получили одну и ту же запись, значит, они обозначают одно число. Проверка перекрёстным умножением тоже даёт равенство: 15 · 35 = 21 · 25 = 525.

Ответ: дроби равны.

Типичные ошибки

Иногда умножают или делят только числитель либо только знаменатель. Тогда меняется размер долей или их количество, но не согласованно, поэтому значение дроби обычно изменяется. Ошибка возникает, если смотреть на числа отдельно, не учитывая смысл дроби. Проверь себя: одно и то же действие должно быть выполнено и сверху, и снизу.

При поиске дроби с заданным знаменателем можно случайно умножить числитель на другой множитель. Например, если 7 увеличили в 3 раза, числитель тоже нужно умножить на 3, а не на любое удобное число. Иначе получится другая дробь. Для проверки сравни, во сколько раз изменились числитель и знаменатель: множители должны совпадать.

Нельзя делить числитель и знаменатель на разные числа или на число, которое не делит их без остатка. Так равенство может нарушиться, а результат деления — оказаться неверным. Обычно эту ошибку допускают, не проверив делимость обоих чисел. Перед сокращением убедись, что выбранное число является общим делителем числителя и знаменателя.

Одинаковые числители или знаменатели сами по себе не доказывают равенство дробей. Например, 2/3 и 2/5 имеют один числитель, но обозначают разные части целого. Можно ошибочно сравнить только один элемент записи и забыть о другом. Проверь значение дробей с помощью общего знаменателя или перекрёстных произведений.

Связь с другими темами

Для работы с равными дробями нужно понимать смысл дроби и различать числитель со знаменателем. Также пригодятся таблица умножения и деления: без неё трудно найти нужный множитель или общий делитель. Эти знания позволяют уверенно изменять запись дроби.

Равные дроби используются при сокращении: числитель и знаменатель делят на общий делитель, чтобы получить более простую запись. Они же нужны при приведении дробей к общему знаменателю. Благодаря этому дроби можно сравнивать и выполнять с ними сложение.

Что запомнить

• Равные дроби обозначают одно и то же число.
• Числитель и знаменатель равной дроби изменяют в одинаковое число раз.
• Умножение числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число сохраняет дробь.
• Делить числитель и знаменатель можно только на их общий делитель.
• Чтобы получить заданный знаменатель, нужно изменить числитель во столько же раз.
• Равенство дробей можно проверить по перекрёстным произведениям.