"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Площадь показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Её находят, сравнивая фигуру с выбранной единицей площади и подсчитывая, сколько таких единиц в ней помещается. За единицу берут квадрат с известной длиной стороны, например квадратный сантиметр или квадратный метр. Площадь равных фигур одинакова, а площадь целой фигуры можно найти, сложив площади её частей, если части не перекрываются.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь фигуры — величина, показывающая, сколько места фигура занимает на плоскости. Например, поверхность стола занимает больше места, чем маленькая наклейка. Понятие площади помогает сравнивать фигуры и измерять поверхности.
Единица площади — выбранная единица, с помощью которой измеряют площадь. Её используют как мерку: фигуру сравнивают с ней и выясняют, сколько таких мерок в неё помещается. Единицу нужно указывать в ответе, чтобы было понятно, в чём выражена площадь.
Квадратная единица — площадь квадрата, сторона которого равна одной единице длины. Например, квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см², то есть один квадратный сантиметр. Такая мерка удобна, потому что квадратами можно покрывать плоскую поверхность без промежутков.
Измерение площади — сравнение площади фигуры с единицей площади и подсчёт числа таких единиц. Если целиком уложить квадраты не получается, фигуру можно разделить на части или использовать более мелкую мерку. Результат записывают числом и квадратной единицей, например 8 см².
Площадь измеряют квадратами, потому что она описывает часть плоскости, а не расстояние между двумя точками. Отрезок может показать длину края, но не сообщает, сколько места занимает вся фигура. Квадрат покрывает кусочек поверхности, поэтому одинаковыми квадратами удобно заполнять фигуру и считать их.
Чтобы найти площадь по квадратным единицам, фигуру разбивают на квадраты, которые не перекрываются и вместе покрывают её целиком. Затем считают квадраты: каждый из них занимает одну и ту же площадь. Если квадраты разной величины, сначала нужно выразить их площади в одинаковых единицах, иначе складывать их количество нельзя.
Равные фигуры имеют одинаковые площади, даже если расположены по-разному. При перемещении фигуры меняется её место на плоскости, но не меняются её части и их размеры. Поворот или перенос не добавляет фигуре поверхность и не убирает её, поэтому площадь остаётся той же.
Площадь целой фигуры равна сумме площадей её частей, если части не перекрываются. Каждая точка исходной фигуры тогда принадлежит ровно одной части: ничего не пропущено и ничего не посчитано дважды. Поэтому можно измерить части отдельно, а потом сложить результаты.
Выбор единицы меняет число, которым записана площадь, но не меняет саму фигуру. Например, одна и та же поверхность может иметь площадь 1 м² или 10 000 см²: число стало другим, потому что квадратный сантиметр меньше квадратного метра. При переходе от одной единицы длины к другой коэффициент нужно применить дважды — для каждой стороны квадратной мерки.
| Единица площади | Обозначение | Связь с другими единицами |
|---|---|---|
| Квадратный миллиметр — площадь квадрата со стороной 1 мм | мм² | — |
| Квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см | см² | 1 см² = 100 мм² |
| Квадратный дециметр — площадь квадрата со стороной 1 дм | дм² | 1 дм² = 100 см² |
| Квадратный метр — площадь квадрата со стороной 1 м | м² | 1 м² = 100 дм² |
| Квадратный километр — площадь квадрата со стороной 1 км | км² | 1 км² = 1 000 000 м² |
Таблица помогает выбрать подходящую единицу и перевести площадь из одной единицы в другую. При переходе к более мелкой единице числовое значение увеличивается, а к более крупной — уменьшается. Проверяй, чтобы единицы в примере и ответе совпадали.
Задача 1. Фигура составлена из 12 неперекрывающихся квадратов со стороной 1 см. Найдём её площадь. Каждый такой квадрат занимает 1 см², поэтому достаточно определить, сколько квадратов составляют фигуру.
Ответ: 12 см². Здесь важно указать квадратные сантиметры: 12 см было бы длиной, а не площадью. Число 12 показывает количество единичных квадратов.
Задача 2. Фигура разделена на прямоугольник площадью 18 см² и треугольник площадью 7 см². Найдём площадь всей фигуры. По условию части составляют фигуру и не перекрываются, поэтому их площади можно сложить.
Ответ: 25 см². Если бы части перекрывались, простое сложение посчитало бы общую область два раза. Здесь такого наложения нет, поэтому сложение подходит.
Задача 3. Площадь участка равна 3 м². Выразим её в квадратных сантиметрах. Из таблицы знаем, что 1 м = 100 см, но для площади нельзя просто умножить на 100: квадратная мерка имеет две стороны.
Ответ: 30 000 см². Коэффициент 100 возводится в квадрат, потому что нужно учесть сантиметры и по длине, и по ширине. Поэтому переход от метров к сантиметрам увеличивает числовое значение площади в 10 000 раз.
Ошибка: записывать площадь в единицах длины, например 12 см вместо 12 см². Так происходит, когда площадь путают с длиной края фигуры. Проверь себя: если ты считаешь покрывающие фигуру квадраты, ответ должен быть в квадратных единицах.
Ошибка: умножать или делить на 10 при переводе квадратных единиц. Обычно забывают, что квадратный сантиметр состоит из 100 квадратных миллиметров, а не из 10. Проверь перевод отдельно по двум сторонам квадрата: 1 см = 10 мм, значит, 1 см² = 10 × 10 = 100 мм².
Ошибка: складывать площади частей, которые перекрываются. В таком случае область наложения считается дважды, поэтому сумма получается больше площади фигуры. Перед сложением проверь, что части не накладываются, а вместе покрывают фигуру целиком.
Ошибка: считать, что фигуры с одинаковым периметром или одинаковой длиной стороны обязательно имеют одинаковую площадь. Эти признаки описывают края или отдельные размеры, но сами по себе не показывают, сколько места занимает фигура. Проверяй площадь отдельно: например, сравнивай фигуры с помощью одинаковых квадратных единиц.
Для работы с площадью нужны знания единиц длины, квадрата и прямоугольника, а также умение считать и складывать натуральные числа. Квадратные единицы связаны с обычными единицами длины: длина стороны помогает определить размер мерки, а площадь показывает, сколько места она занимает. Позже понятие площади пригодится при изучении формул для прямоугольника, квадрата и других фигур. В жизни площадь помогает измерять комнаты, земельные участки, поверхности и количество материалов для ремонта или изготовления предметов.
Почему площадь измеряют квадратными единицами?
Площадь показывает, сколько места занимает фигура на плоскости, поэтому её сравнивают с маленькими кусочками поверхности. Удобно взять квадрат с известной стороной и считать, сколько таких квадратов помещается в фигуре. Обычный отрезок показывает длину, а не площадь.
Могут ли фигуры разной формы иметь одинаковую площадь?
Да. Например, прямоугольник и другая фигура могут занимать одинаковое количество квадратных единиц, хотя выглядят по-разному. Форма не мешает им иметь равную площадь.
Как понять, какую единицу площади выбрать?
Выбирай единицу по размеру измеряемой поверхности. Для небольшой детали подойдут квадратные миллиметры или сантиметры, для комнаты — квадратные метры, для большого участка — гектары или квадратные километры. Удобная единица помогает не записывать слишком большие или слишком маленькие числа.
Почему 1 м² — это 10 000 см², а не 100 см²?
В одном метре 100 сантиметров, значит, сторона квадрата площадью 1 м² равна 100 см. В квадрате помещается 100 рядов по 100 квадратов со стороной 1 см, поэтому 100 × 100 = 10 000 см². При переводе площади коэффициент длины нужно умножить сам на себя.
Можно ли найти площадь сложной фигуры, если разбить её на части?
Да, если разделить фигуру на части, площади которых можно определить, и эти части не перекрываются. Затем площади частей складывают. Если части наложились друг на друга, общая область будет посчитана дважды.
§ 1. Понятие площади
