§ 2. Площади прямоугольника и квадрата

Определения и обозначения

Площадь фигуры — величина, показывающая, сколько места занимает фигура на плоскости. Например, большая площадь означает, что внутри границ фигуры помещается больше единичных квадратов. Это понятие нужно, чтобы сравнивать поверхности и измерять их размер.

Единица площади — площадь квадрата со стороной, равной одной единице длины. Используют квадратные сантиметры (см²), квадратные дециметры (дм²), квадратные метры (м²) и другие единицы. Они помогают записать результат измерения точно и понятно.

Площадь прямоугольника — произведение длин его длины и ширины: S = ab. Буквой S обозначают площадь, буквами a и b — стороны прямоугольника. Формула позволяет быстро найти число квадратных единиц внутри фигуры.

Площадь квадрата — произведение длины его стороны на саму себя: S = a². У квадрата все стороны равны, поэтому достаточно знать длину одной стороны. Запись a² означает a · a, а не умножение на число 2.

Как это устроено

Чтобы измерить площадь прямоугольника, его можно мысленно покрыть одинаковыми квадратами со стороной 1 единица. Такие квадраты размещают ровными рядами и столбцами без промежутков и наложений. Сколько квадратов поместилось внутри, столько квадратных единиц составляет площадь.

В одном ряду прямоугольника помещается столько единичных квадратов, сколько единиц содержит его длина. Количество рядов определяется шириной прямоугольника. Поэтому каждый ряд имеет одинаковое число квадратов, а все ряды можно посчитать умножением.

Если в одном ряду находится a квадратов, а рядов b, общее число квадратов равно a · b. Каждый квадрат имеет площадь 1 квадратную единицу, поэтому произведение одновременно показывает и их количество, и площадь прямоугольника. Так получается формула S = ab.

Квадрат — это прямоугольник, у которого длина и ширина равны одной и той же стороне a. В формуле прямоугольника вместо a и b подставляют одинаковые значения: S = a · a. Коротко это записывают как S = a², поэтому отдельная формула для квадрата является частным случаем общей формулы.

При умножении длины на ширину единицы должны быть одинаковыми: например, обе стороны выражены в сантиметрах или обе в метрах. Если одна сторона дана в метрах, а другая в сантиметрах, сначала выполняют перевод. Результат записывают в квадратных единицах, потому что умножаются две длины: м · м = м², см · см = см².

Площади прямоугольника и квадрата

Сначала определите, какая фигура дана и какие величины известны. Затем выберите формулу и проверьте, что все длины записаны в одинаковых единицах. В последней строке решения укажите единицу площади, например см² или м².

Разбор задач

Задача 1

Найдём площадь прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см. Обе стороны уже выражены в сантиметрах, поэтому переводить единицы не требуется. Для прямоугольника используем формулу S = ab.

1. Записываем длину: a = 8 см, ширину: b = 5 см.
2. Подставляем значения в формулу: S = 8 · 5.
3. Вычисляем произведение: S = 40.

Ответ: 40 см². Квадратные сантиметры указаны потому, что сантиметры умножались на сантиметры. Число 40 показывает, сколько единичных квадратов площадью 1 см² помещается в прямоугольнике.

Задача 2

Площадь прямоугольника равна 42 м², одна сторона равна 6 м. Требуется найти другую сторону. Из равенства S = ab неизвестную сторону находят обратным действием — делением площади на известную сторону.

1. Обозначаем неизвестную сторону через b.
2. Записываем формулу: b = S : a.
3. Подставляем данные: b = 42 : 6 = 7 м.

Ответ: другая сторона равна 7 м. Проверка выполняется умножением: 6 м · 7 м = 42 м². Получилась исходная площадь, значит, найденная сторона подходит.

Задача 3

Сравним квадрат со стороной 7 см и прямоугольник со сторонами 9 см и 5 см. Сначала найдём площадь каждой фигуры отдельно, используя подходящую формулу. Единицы одинаковы, поэтому результаты можно сравнить сразу.

1. Площадь квадрата: S₁ = 7² = 49 см².
2. Площадь прямоугольника: S₂ = 9 · 5 = 45 см².
3. Сравниваем числа: 49 см² > 45 см².

Ответ: площадь квадрата больше площади прямоугольника на 4 см². Разность найдём так: 49 − 45 = 4 см². Сравнивать нужно именно площади, а не длины сторон.

Типичные ошибки

Разные единицы длины. Нельзя сразу умножать, например, 2 м и 30 см, потому что числа относятся к разным единицам. Ошибку допускают, когда забывают о переводе величин. Проверьте, одинаковы ли единицы перед умножением.

Неверная единица ответа. Запись 24 см вместо 24 см² означает длину, а не площадь. Такое происходит, если не учитывать, что перемножены две длины. Проверьте размерность: см · см дают см², а м · м дают м².

Формула S = 4a. Она относится к периметру квадрата, а не к его площади. Ошибку вызывают четыре равные стороны, которые запоминают вместо правила умножения стороны на себя. Для площади запишите S = a² и проверьте вычисление единичными квадратами.

Подмена площади периметром. Сложение сторон находит длину границы, поэтому это периметр. Площадь связана с квадратами, покрывающими внутреннюю часть фигуры. Если в решении есть только сложение сторон, уточните, что именно требуется найти.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания об единицах длины, их переводе и таблице умножения. Формулы площади связаны с умножением натуральных чисел и помогают решать текстовые задачи. Позже эти правила пригодятся при нахождении площадей составных фигур, прямоугольных участков и поверхностей предметов.

Что запомнить

• Площадь измеряют квадратными единицами.
• Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину: S = ab.
• Стороны при вычислении площади должны быть выражены в одинаковых единицах.
• Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны: S = a².
• Квадрат является частным случаем прямоугольника.
• Ответ о площади записывают в квадратных единицах.