§ 3. Корень квадратный

Определения и обозначения

Квадратный корень из числа — это число, квадрат которого равен данному числу. Например, 7 — квадратный корень из 49, потому что 7² = 49. Запись √a читают «квадратный корень из a» и используют, когда нужно обозначить такой результат.

Арифметический квадратный корень — неотрицательный квадратный корень из неотрицательного числа. Например, арифметический корень из 36 равен 6, а не −6. Это определение нужно, чтобы у записи √36 был один точный результат.

Подкоренное выражение — число или выражение, записанное под знаком корня. В записи √a подкоренным выражением является a, а в √(x + 2) — выражение x + 2. По нему определяют, какое число нужно рассматривать под корнем.

Радиканд — число, из которого извлекают квадратный корень. Например, в записи √81 радикандом является 81. В школьных задачах слова «радиканд» и «подкоренное число» часто обозначают одно и то же.

Как это устроено

Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня являются связанными действиями. Если 6² = 36, то √36 = 6, потому что корень возвращает неотрицательное число, которое возвели в квадрат. Поэтому при вычислении корня полезно вспоминать таблицу квадратов.

У положительного полного квадрата есть два числа с таким квадратом. Например, 5² = 25 и (−5)² = 25, потому что при умножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Но арифметическим корнем называют только 5: знак √ не включает отрицательное значение.

Под знаком арифметического корня должно стоять неотрицательное число. Квадрат любого числа равен нулю или положителен, поэтому получить отрицательный радиканд возведением в квадрат невозможно. Например, √0 имеет смысл и равен 0, а √−4 в рамках изучаемых чисел не определяется.

Корень из полного квадрата находят по таблице квадратов или подбором. Нужно вспомнить, какое неотрицательное число при умножении само на себя даёт радиканд: для 64 это 8, потому что 8² = 64. Если полного квадрата нет, корень может быть нецелым, поэтому его оставляют под знаком корня или оценивают приблизительно.

Проверка выполняется возведением найденного результата в квадрат. Если получился радиканд и найденное число неотрицательно, вычисление верно. Для оценки корня сравнивают радиканд с соседними квадратами: из 70 корень больше 8, так как 70 > 64, и меньше 9, так как 70 < 81.

Квадратные корни из основных неотрицательных чисел

В таблице собраны первые полные квадраты. В столбце проверки показано, почему указанное значение действительно является корнем. Если число не является полным квадратом, его корень не выражается целым числом.

Таблицу удобно использовать при устном счёте и при проверке решения. Ищите радиканд в первом столбце, затем читайте корень во втором и подтверждайте его равенство третьим столбцом.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить √49 и выполнить проверку

Нужно найти неотрицательное число, квадрат которого равен 49. В таблице квадратов видно, что 7² = 49. После этого проверим результат отдельным действием.

1. Подбираем число: 7² = 49.
2. Записываем арифметический корень: √49 = 7.
3. Проверяем найденное значение: 7² = 49.

Ответ: √49 = 7. Проверка совпала с подкоренным числом, значит, корень найден верно.

Задача 2. Решить уравнение x² = 64 и отдельно указать арифметический квадратный корень

В уравнении требуется найти все числа x, квадрат которых равен 64. Числа 8 и −8 подходят, потому что квадраты противоположных чисел одинаковы. Но арифметический корень обозначает только неотрицательное число.

1. Находим положительное число: 8² = 64.
2. Учитываем противоположное число: (−8)² = 64.
3. Записываем решения уравнения: x = 8 или x = −8.
4. Отдельно находим арифметический корень: √64 = 8.

Ответ: уравнение имеет решения x = 8 и x = −8. Арифметический квадратный корень из 64 равен 8.

Задача 3. Между какими соседними целыми числами находится √70?

Число 70 не входит в таблицу полных квадратов, поэтому сразу получить целый корень нельзя. Сравним его с квадратами соседних целых чисел 8 и 9. Такое сравнение покажет границы, между которыми находится корень.

1. Вычисляем квадраты соседних чисел: 8² = 64, 9² = 81.
2. Сравниваем: 64 < 70 < 81.
3. Делаем вывод: 8 < √70 < 9.

Ответ: √70 находится между 8 и 9. Точное значение можно оставить в виде √70, а для приближённого результата использовать подбор или калькулятор.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что √a имеет два значения. Так делают, вспоминая два корня уравнения x² = a. Нужно различать эти понятия: знак √ обозначает только неотрицательный корень, а два значения относятся к решению уравнения.

Ошибка: путать √a и −√a. Например, √25 = 5, а −√25 = −5 — это противоположные числа, а не одинаковые записи. Проверяйте знак: арифметический квадратный корень не может быть отрицательным.

Ошибка: записывать корень из отрицательного числа без проверки. Квадрат числа не бывает меньше нуля, поэтому √−9 не имеет значения среди изучаемых чисел. Перед вычислением убедитесь, что подкоренное выражение неотрицательно.

Ошибка: называть корнем число, квадрат которого не равен радиканду. Иногда ответ угадывают или ошибаются в таблице квадратов, а проверку пропускают. Возведите найденное число в квадрат и сравните результат с подкоренным выражением.

Связь с другими темами

До изучения корня нужно знать таблицу квадратов натуральных чисел, уметь возводить числа в квадрат и сравнивать числа. Эти навыки помогают быстро находить полные квадраты и устанавливать границы нецелого корня.

Дальше квадратный корень пригодится при решении уравнений и задач на длины, площади и стороны квадратов. В геометрии он позволяет найти сторону квадрата по его площади: если площадь равна S, то сторона равна √S.

Что запомнить

• √a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a.
• Подкоренное выражение арифметического квадратного корня должно быть неотрицательным.
• √0 = 0.
• Для положительного полного квадрата арифметический квадратный корень положителен.
• Проверка корня выполняется возведением найденного числа в квадрат.
• Если a = b² и b неотрицательно, то √a = b.
• При решении уравнения x² = a нужно учитывать оба противоположных корня, если a > 0.