"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Площадь прямоугольного треугольника показывает, какую часть плоскости занимает эта фигура. Чтобы её найти, достаточно знать длины двух катетов — сторон, образующих прямой угол. Площадь равна половине произведения катетов: S = ab/2. Эта формула помогает не только находить площадь, но и вычислять неизвестный катет, если известны площадь и другой катет. Главное — не перепутать катеты с гипотенузой и записать ответ в квадратных единицах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен 90°. Такой угол легко узнать по угольнику или специальному значку на чертеже. Название помогает отличить эту фигуру от других треугольников. Для нахождения её площади особенно важно определить стороны около прямого угла.
Катеты — стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол. Обычно их длины обозначают буквами a и b. Именно катеты удобно использовать в вычислениях площади, потому что один из них можно взять за основание, а другой — за высоту. Чтобы не ошибиться, найди сначала прямой угол, а затем две стороны, которые его образуют.
Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Она всегда является самой длинной стороной такого треугольника. Её важно отличать от катетов: в формуле площади участвуют две стороны около прямого угла, а не сторона напротив него. На чертеже гипотенуза соединяет концы катетов.
Площадь прямоугольного треугольника — величина, показывающая размер части плоскости, занимаемой треугольником. Её обозначают буквой S и выражают в квадратных единицах, например в квадратных сантиметрах. Площадь нужна, чтобы сравнивать, сколько места занимают фигуры, и решать задачи о поверхностях. Для прямоугольного треугольника её находят по длинам катетов.
Представь прямоугольный треугольник с катетами a и b. Если рядом достроить такой же треугольник, получится прямоугольник, стороны которого равны a и b. Это возможно, потому что углы у катетов прямые, а второй треугольник можно расположить зеркально относительно общей диагонали. Диагональ прямоугольника и будет границей между двумя одинаковыми треугольниками.
Площадь прямоугольника со сторонами a и b равна a · b. Его диагональ делит прямоугольник на две равные части: они совпадают при наложении, поэтому занимают одинаковую площадь. Значит, на каждый треугольник приходится половина площади прямоугольника. Отсюда получается формула площади прямоугольного треугольника: S = ab/2.
В формуле можно считать один катет основанием, а другой — высотой. Основание — сторона, на которую условно «опирается» фигура, а высота должна быть перпендикулярна основанию. Катеты уже образуют прямой угол, поэтому они подходят друг к другу как основание и высота без дополнительных построений. Их можно поменять ролями: произведение ab от этого не изменится.
Перед умножением проверь единицы длины. Если один катет дан в сантиметрах, а другой в метрах, числа нельзя сразу подставлять в формулу: сначала одну длину нужно перевести в единицы другой. Это требуется потому, что произведение длин должно давать площадь в одной согласованной системе измерения. Например, результат из сантиметров получится в квадратных сантиметрах.
Формулу можно преобразовать, если вместо площади требуется найти катет. Из равенства S = ab/2 следует, что ab = 2S: обе части умножили на 2. Чтобы оставить неизвестный катет один, раздели удвоенную площадь на известный катет: a = 2S/b или b = 2S/a. Деление здесь обратное умножению, поэтому найденное значение можно проверить подстановкой в исходную формулу.
Сначала найди на чертеже прямой угол и определи два катета. Затем выбери нужную строку таблицы: по двум катетам находят площадь, а по площади и одному катету — второй. Буквы a и b обозначают длины катетов, S — площадь. Проверяй, чтобы длины были выражены в одинаковых единицах.
| Что известно или требуется найти | Обозначение | Как определить | Формула |
|---|---|---|---|
| Первый катет | a | Сторона у прямого угла | a |
| Второй катет | b | Другая сторона у прямого угла | b |
| Площадь по двум катетам | S | Половина произведения катетов | S = ab/2 |
| Неизвестный катет по площади и известному катету | a или b | Удвоенную площадь разделить на известный катет | a = 2S/b; b = 2S/a |
| Единица измерения площади | см², м² и др. | Квадрат единицы длины | см · см = см² |
В условии даны обе стороны, образующие прямой угол, значит, это катеты. Обозначим их длины a = 6 см и b = 8 см. Для площади известны оба нужных значения, поэтому применим формулу S = ab/2. Результат запишем в квадратных сантиметрах.
Полученное значение вдвое меньше площади прямоугольника со сторонами 6 см и 8 см. Это согласуется с тем, что диагональ делит такой прямоугольник на два равных треугольника. Ответ: 24 см².
Здесь известна площадь и длина одного катета, а требуется найти второй. Обозначим неизвестный катет буквой b, а известный — a = 5 см. Из формулы S = ab/2 получаем b = 2S/a. Подставим значения, соблюдая порядок действий: сначала удвоим площадь, затем разделим на известный катет.
Проверим результат: 5 · 12/2 = 30 см², это совпадает с условием. Значит, найденная длина подходит. Ответ: второй катет равен 12 см.
Диагональ прямоугольника соединяет противоположные вершины и делит его на два треугольника. Они равны, потому что у них общая диагональ, а стороны прямоугольника образуют две пары равных сторон. Поэтому площадь каждого треугольника составляет половину площади прямоугольника. Сначала найдём всю площадь, а затем разделим её на 2.
Диагональ нужна здесь не для вычисления длины, а для разделения прямоугольника на две равные части. Поэтому площадь одного треугольника равна половине площади всей фигуры. Ответ: 42 см².
Иногда катеты просто перемножают и получают площадь прямоугольника, забывая разделить результат на 2. Так происходит, если формулу площади прямоугольника по ошибке переносят на треугольник. Проверь себя: дострой треугольник до прямоугольника и вспомни, что он занимает только одну из двух равных половин. В формуле обязательно должно быть деление на 2.
Другая ошибка — подставить в формулу гипотенузу вместо одного из катетов. Это случается, когда выбирают самую длинную сторону, не проверив, где находится прямой угол. Найди угол 90°: его стороны и есть катеты, а противоположная сторона — гипотенуза. Проверь, что оба множителя в S = ab/2 прилегают к прямому углу.
Нельзя сразу подставлять длины, если они записаны в разных единицах. Например, число метров и число сантиметров нельзя перемножить как обычные числа и приписать к ответу одну из этих единиц. Сначала переведи одну длину, чтобы единицы совпали. Для проверки посмотри на условие: обозначения единиц у обоих катетов должны быть одинаковыми.
Площадь иногда записывают в сантиметрах или метрах, не возводя единицу длины в квадрат. Ошибка появляется, если следить только за числом и не учитывать, что умножаются две длины. Например, см · см = см², а м · м = м². Перед записью ответа проверь, что у единицы площади есть знак квадрата.
Для этой темы нужно знать виды треугольников, уметь распознавать прямой угол и отличать катеты от гипотенузы. Также пригодятся формула площади прямоугольника и единицы площади: квадратные сантиметры и квадратные метры. Позже формула прямоугольного треугольника поможет понять общую формулу площади треугольника и решать задачи с фигурами, составленными из нескольких частей. А умение выбирать основание и перпендикулярную ему высоту будет полезно при построении и изучении других треугольников.
Почему площадь прямоугольного треугольника делят на 2?
Если достроить треугольник до прямоугольника с такими же сторонами, его площадь будет равна произведению катетов. Диагональ делит этот прямоугольник на два равных треугольника, поэтому площадь одного из них вдвое меньше.
Можно ли использовать гипотенузу в формуле S = ab/2?
Нет, в этой формуле a и b обозначают катеты — стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза лежит напротив прямого угла и не является ни основанием, ни соответствующей ему высотой.
Как найти катет, если известны площадь и другой катет?
Умножь площадь на 2, а затем раздели результат на длину известного катета. Например, если S = 30 см², а a = 5 см, то b = 2 · 30 : 5 = 12 см.
Что делать, если катеты заданы в разных единицах?
Сначала переведи одну длину так, чтобы обе были выражены в одинаковых единицах. Например, 2 м можно заменить на 200 см, а затем подставить длины в формулу.
Почему ответ записывают в квадратных единицах?
Площадь измеряет размер части поверхности, поэтому её единицы получаются при умножении единиц длины. Например, сантиметры умножаются на сантиметры и дают квадратные сантиметры — см².
§ 4. Площадь прямоугольного треугольника
