"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Клетчатая бумага помогает находить площадь фигуры без сложных измерений. За единицу площади принимают одну клетку, а затем считают целые клетки и части клеток внутри фигуры. Прямоугольник вычисляют умножением числа клеток в длину на число клеток в ширину. Сложные фигуры разбивают на простые или достраивают до прямоугольника, чтобы сложить площади частей либо вычесть лишние области.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Клетчатая бумага — это бумага, разделённая линиями на одинаковые квадратные клетки. По этим линиям легко сравнивать длины и видеть границы фигур. Она нужна, чтобы измерять площадь не на глаз, а с помощью клеток.
Единичный квадрат — одна клетка, которую принимают за единицу площади. Если сторона клетки равна 1 см, её площадь равна 1 см². Такой квадрат служит меркой для всех фигур на данной клетчатой бумаге.
Площадь фигуры — это число единичных квадратов, которыми можно покрыть фигуру без пропусков и наложений. Чем больше таких квадратов помещается внутри границы, тем больше площадь. Результат записывают в квадратных единицах: клетках, см² или других единицах.
Неполная клетка — часть клетки, попавшая внутрь фигуры. Несколько подходящих частей можно объединить в целую клетку, а иногда их удобнее учитывать при вычитании из большого прямоугольника. Это помогает не терять площадь у неровных границ.
Клетку можно считать маленьким квадратным «кусочком» площади. Если фигура состоит из целых клеток, её площадь равна числу этих клеток, потому что клетки покрывают фигуру без пробелов и перекрытий. Поэтому сначала полезно проверить, можно ли просто пересчитать клетки внутри границы.
У прямоугольника клетки расположены рядами и столбцами. Если в каждом ряду находится b клеток, а рядов всего a, то одинаковые группы можно посчитать умножением: S = a · b. Такое вычисление работает именно потому, что каждый ряд имеет одинаковую длину и все клетки образуют прямоугольник.
Сложная фигура часто состоит из нескольких прямоугольных частей. Если провести линии по границам клеток, части можно посчитать отдельно, а затем сложить их площади. Это не меняет результата, потому что каждая часть занимает свою область, и ни один участок не считается дважды.
Иногда проще окружить фигуру прямоугольником и рассмотреть лишние области снаружи. Площадь исходной фигуры тогда получают вычитанием площадей этих вырезанных частей из площади большого прямоугольника. Такой способ удобен, когда лишних частей мало и их площади легко вычислить.
Площадь не изменяется, если область разрезать на части и переставить их без наложений и дырок. Например, две половины клеток могут соединиться в одну целую клетку. Значит, части можно объединять или переносить мысленно, если границы исходной области остаются покрыты ровно один раз.
Сначала определите, какие области входят в фигуру, а затем выберите самый короткий способ подсчёта. В таблице действие связано с тем, как устроена фигура: её можно пересчитать, разбить или достроить. После вычислений проверьте, что каждая часть учтена ровно один раз.
| Вид фигуры или приём | Что определить | Действие | Формула или результат |
|---|---|---|---|
| Фигура состоит из целых клеток | Количество клеток внутри границы | Пересчитать клетки | S = n квадратных единиц |
| Прямоугольник из клеток | Число клеток в длину и ширину | Перемножить эти числа | S = a · b |
| Разбиение фигуры на прямоугольники | Размеры каждой части | Найти площади частей и сложить | S = S₁ + S₂ + … |
| Достраивание до прямоугольника | Площадь большого прямоугольника и лишних частей | Вычесть лишние площади | S = Sбольшого − Sлишних |
| Фигура с неполными клетками | Какие части можно объединить или вычесть | Сложить части или дополнить фигуру | Площадь целых квадратов и частей |
Если стороны фигуры проходят по линиям клеток, сначала считайте клетки в рядах и столбцах. При неровной границе отметьте неполные клетки и решите, удобнее ли объединить их или применить вычитание. Единицы ответа должны совпадать с единицей, выбранной для одной клетки.
Нужно найти площадь фигуры, состоящей из 18 целых клеток. Одна клетка принята за единицу площади, поэтому отдельную формулу для прямоугольника использовать не требуется. Достаточно узнать, сколько единичных квадратов покрывает фигура.
Ответ: площадь фигуры равна 18 квадратным единицам.
Ступенчатую фигуру разделили на два прямоугольника. Пусть первый имеет стороны 4 и 3 клетки, а второй — 5 и 2 клетки; части соприкасаются только границей. Разбиение удобно, потому что площади прямоугольников находятся умножением.
Ответ: площадь ступенчатой фигуры равна 22 квадратным единицам. Сложение допустимо, потому что общая граница не является общей площадью.
Фигура вписана в прямоугольник размером 8 × 6 клеток. Из него мысленно убраны два прямоугольника: один размером 3 × 2 клетки, другой размером 2 × 1 клетку. Вычитание проще прямого подсчёта, потому что большой прямоугольник и оба выреза имеют известные размеры.
Ответ: площадь сложной фигуры равна 40 квадратным единицам. Важно, чтобы вырезанные части не пересекались, иначе одна область была бы вычтена дважды.
Считать линии вместо клеток. Линии только обозначают границы и не являются отдельными единицами площади. Ошибку часто замечают, когда получают слишком большое число; проверка проста — пересчитайте именно внутренние квадраты, а не вертикальные и горизонтальные линии.
Перемножать длины у любой фигуры. Формула S = a · b относится к прямоугольнику, а у ступенчатой или иной сложной фигуры такие длины не описывают всю область. Проверьте, имеет ли фигура четыре прямых угла и форму прямоугольника, прежде чем умножать.
Складывать пересекающиеся части. При разбиении одна и та же область может случайно попасть сразу в два прямоугольника. Проведите границы частей и убедитесь, что они только соприкасаются или полностью разделяют фигуру.
Неверно учитывать неполные клетки. Нельзя без объяснения отбрасывать кусочки или считать каждый кусочек целой клеткой. Объедините подходящие части, оцените их как доли клетки или примените достраивание и затем проверьте результат по границе фигуры.
До этой темы нужны знания об единицах длины и площади, формуле площади прямоугольника, умножении и сложении натуральных чисел. Они позволяют читать размеры по клеткам и выполнять вычисления без путаницы. Единицы площади помогают правильно оформить ответ.
Дальше этот приём пригодится при изучении площадей треугольников и многоугольников, а также в задачах по планам и чертежам. Разбиение и достраивание показывают, как можно обосновывать формулы площадей. Один и тот же принцип работает и на клетчатой бумаге, и в практических измерениях.
Почему одна клетка считается единицей площади?
Клетка имеет одинаковую форму и размер, поэтому её удобно принять за один единичный квадрат. Тогда площадь любой фигуры можно сравнить с площадью таких квадратов и выразить их количеством.
Что делать, если фигура не состоит только из целых клеток?
Нужно рассмотреть неполные клетки по краям фигуры. Равные части можно объединить в целые клетки, а затем сложить получившиеся площади или вычесть лишние части.
Как понять, на какие части лучше разбить сложную фигуру?
Выбирайте линии разбиения так, чтобы получились прямоугольники с известными сторонами. Удобно проводить их по линиям клетчатой бумаги и проверять, чтобы части не пересекались и полностью составляли исходную фигуру.
Когда удобнее достраивать фигуру до прямоугольника?
Так делают, если фигура почти помещается в один прямоугольник, а снаружи остаются небольшие прямоугольные вырезы. Сначала находят площадь всего прямоугольника, затем вычитают площади лишних частей.
Почему в ответе нужны квадратные, а не обычные единицы измерения?
Площадь показывает, сколько квадратов покрывает фигуру, поэтому единица площади тоже должна быть квадратной. Например, если сторона клетки равна 1 см, её площадь равна 1 см².
§ 5. Вычисление площадей на клетчатой бумаге
