§ 6. Равносоставленные фигуры

Определения и обозначения

Равносоставленные фигуры — фигуры, которые можно разбить на конечное число попарно равных частей. Это значит, что для каждой части первой фигуры найдётся такая же часть второй. Определение нужно, чтобы сравнивать фигуры, даже если их целиком нельзя совместить наложением.

Равные части — части, которые совмещаются наложением и имеют одинаковые форму и размеры. Наложение помогает проверить равенство: если после перемещения одна часть полностью совпала с другой, они равны. Так можно правильно сопоставить части двух фигур.

Разбиение фигуры — представление фигуры как объединения частей без промежутков и наложений. Части должны закрывать всю исходную фигуру, а их внутренности не должны перекрываться. Это определение нужно, чтобы случайно не сравнить лишь отдельные кусочки, забыв часть фигуры или добавив лишнюю область.

Площадь равносоставленной фигуры сохраняется при разрезании фигуры на части и их перестановке. Площадь показывает, сколько места занимает фигура на плоскости. Это свойство позволяет сравнивать площади фигур с разными очертаниями, если они составлены из одинаковых частей.

Как это устроено

Равносоставленность устанавливают не по внешнему сходству фигур, а по их частям. Сначала каждую фигуру делят на части, затем ищут для каждой части одной фигуры равную ей часть другой. Такой способ работает, потому что он показывает точное соответствие между всеми кусочками, из которых состоят фигуры.

Когда части переставляют, меняется их расположение, но не их форма и размер. Например, кусочки можно переложить так, чтобы из длинной фигуры получилась более компактная. Состав при этом остаётся прежним: ни одна часть не исчезает, не появляется и не меняется, поэтому перестановка не меняет сумму площадей.

Если фигуры равносоставлены, их площади равны. Площадь целой фигуры складывается из площадей частей, на которые она разбита. Для каждой части первой фигуры есть равная ей часть второй с такой же площадью, поэтому в обеих суммах слагаемые попарно равны и итоговые площади совпадают.

Обратный вывод делать нельзя: одинаковые площади не доказывают равносоставленность. Площадь сообщает, сколько места занимает фигура, но не показывает её устройство и не указывает, как провести разрезы. Чтобы доказать равносоставленность, нужно найти разбиения на попарно равные части, а не только получить одинаковый результат измерения площади.

На чертеже сначала проверь, что линии разреза действительно делят фигуру на части, а не выходят за её границы и не оставляют пропусков. Затем проследи, что части без наложений покрывают фигуру целиком. Наконец, сравни соответствующие части наложением или по их форме и размерам: только после этих проверок разбиение можно считать подходящим.

Равные и равносоставленные фигуры

Смотри на строку «Что сравнивают», чтобы не спутать совпадение фигур целиком с совпадением их частей. Строка о проверке подсказывает, что именно нужно сделать для каждого случая. Одинаковые площади есть у обоих видов фигур, поэтому по одной этой строке отличить их нельзя.

Разбор задач

Задача 1

Две фигуры разбиты каждая на три части. Установите, равносоставлены ли они, если части одной фигуры попарно равны частям другой. Нужно проверить не только число частей, но и то, что разбиения правильно покрывают фигуры. Если это условие выполнено, можно сопоставить части.

1. Проверяем, что три части каждой фигуры вместе составляют её целиком: промежутков и наложений нет.
2. Сопоставляем части по условию: каждой части первой фигуры соответствует равная часть второй.
3. Убеждаемся, что все три пары частей учтены и ни одна часть не осталась без пары.

Поскольку разбиения полные, а части попарно равны, фигуры удовлетворяют определению равносоставленных. Само число три ещё не давало бы такого вывода, если бы равенство частей не было известно. Ответ: фигуры равносоставлены.

Задача 2

Фигуру разрезали на четыре части и переставили их, получив другую фигуру. Объясните, почему площади фигур равны. Здесь не нужно измерять обе фигуры отдельно: можно сравнить, из каких кусочков они состоят. Предполагается, что части сложили без промежутков и наложений.

1. Обозначим площади четырёх частей числами S₁, S₂, S₃ и S₄.
2. Площадь первой фигуры равна S₁ + S₂ + S₃ + S₄, потому что она состоит из этих частей.
3. Во второй фигуре находятся те же четыре части, поэтому её площадь тоже равна S₁ + S₂ + S₃ + S₄.
4. Перестановка не меняет площади частей, значит, обе суммы одинаковы.

Равенство площадей следует из того, что в обеих фигурах сложены одни и те же части. Меняется их расположение, но не площадь каждого кусочка. Ответ: площади фигур равны, так как обе состоят из одних и тех же четырёх частей.

Задача 3

Даны два прямоугольника одинаковой площади, но разных размеров. Можно ли только на основании равенства площадей утверждать, что они равносоставлены? Одинаковая площадь говорит лишь о равном количестве места внутри прямоугольников. Для равносоставленности требуется ещё показать подходящие разбиения.

1. Отмечаем, что площади прямоугольников равны, но из этого не известны их части и способы разрезания.
2. Проверяем, есть ли в условии разбиения обоих прямоугольников на попарно равные части. Таких сведений нет.
3. Значит, по имеющимся данным нельзя подтвердить требуемое соответствие частей.

Равная площадь является следствием равносоставленности, но не заменяет доказательство через части. Возможно, подходящие разбиения удастся найти, однако условие само по себе этого не показывает. Ответ: нет, одного равенства площадей недостаточно, чтобы утверждать, что прямоугольники равносоставлены.

Типичные ошибки

Считать любые фигуры с одинаковой площадью равносоставленными. Так думают, потому что площадь у таких фигур действительно одинаковая. Но она не сообщает, можно ли разбить фигуры на попарно равные части. Проверь себя: можешь ли ты показать разбиения и сопоставить все части?

Сравнивать только число частей. Два разбиения могут состоять из трёх частей каждое, но сами части при этом могут быть разными. Число одинаково, а равенство формы и размеров из этого не следует. Проверь каждую пару наложением, а не просто пересчитай кусочки.

Не проверять, что части составляют всю фигуру без промежутков и наложений. Ошибка возникает, если внимание сосредоточено только на совпадающих кусочках. Даже равные части не доказывают нужное, если осталась непокрытая область или кусочки перекрываются. Проведи взглядом по всей границе фигуры и проверь, что внутри нет пустот и двойного покрытия.

Путать равносоставленность с равенством фигур. Иногда кажется, что фигуры должны совпасть целиком, раз их части равны. Но равносоставленные фигуры могут иметь разные форму и размеры: отличаются способы расположения частей. Проверь себя: сравниваются ли фигуры целиком или части после разрезания?

Связь с другими темами

Для работы с равносоставленными фигурами нужно знать, что такое равные геометрические фигуры, и уметь проверять их наложением. Пригодится и навык находить площадь прямоугольника, а также складывать площади частей: площадь целой фигуры получается из площадей её частей. Эти умения помогают объяснять, почему у фигур с разными очертаниями может быть одна и та же площадь. Равносоставленность используют при обосновании формул площадей и сравнении сложных фигур, которые трудно измерить напрямую.

Что запомнить

• Равносоставленные фигуры разбиваются на попарно равные части.
• Разбиение должно покрывать фигуру целиком и не создавать промежутков или наложений.
• Перестановка частей не меняет их площади.
• Равносоставленные фигуры имеют равные площади.
• Равенство площадей само по себе не доказывает равносоставленность.
• Равносоставленные фигуры не обязаны быть равными.