2.16. Площадь прямоугольного треугольника

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен 90°. Стороны, образующие этот угол, называются катетами. По прямому углу легко узнать такой треугольник и определить, какие его стороны понадобятся для вычисления площади.

Катеты — две стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол. Обозначим их длины буквами a и b. Именно эти стороны удобно использовать в формуле площади: они перпендикулярны друг другу и выступают основанием и высотой.

Площадь прямоугольного треугольника — величина, показывающая, какую часть плоскости занимает треугольник. Площадь обычно обозначают буквой S. Она зависит от размеров фигуры, а не от того, как треугольник расположен на листе; измеряют её квадратными единицами.

Как это устроено

Возьмём два одинаковых прямоугольных треугольника и расположим их так, чтобы они составили прямоугольник. Его соседние стороны будут равны катетам исходного треугольника. Такой способ помогает сравнить площадь треугольника с площадью знакомой фигуры, для которой формула уже известна. Равные треугольники занимают равные части получившегося прямоугольника.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. В нашем случае эти стороны имеют длины a и b, поэтому площадь прямоугольника равна ab. Он состоит из двух одинаковых треугольников, а значит, площадь каждого из них составляет половину площади прямоугольника. Поэтому произведение катетов нужно разделить на 2.

Получаем формулу S = ab / 2, где a и b — длины катетов, а S — площадь треугольника. Например, если катеты измерены в сантиметрах, их произведение выражается в квадратных сантиметрах, и площадь тоже будет в см². Формула применима к любому прямоугольному треугольнику независимо от его положения и размера. Главное — подставить именно длины катетов.

Эта формула согласуется с общей формулой площади треугольника: S = основание × высота / 2. Один катет можно выбрать основанием, а второй — высотой к нему. Причина в том, что катеты образуют прямой угол, то есть перпендикулярны. Поэтому длина второго катета показывает расстояние от вершины до выбранного основания.

Формулу можно преобразовать, если нужно найти не площадь, а неизвестный катет. Из равенства S = ab / 2 следует 2S = ab: умножаем обе части на 2. Чтобы найти b, делим 2S на a и получаем b = 2S / a; для второго катета аналогично a = 2S / b. Перед вычислением проверьте, что известная длина не равна нулю.

Площадь прямоугольного треугольника

Сначала определите, какие величины известны, и найдите соответствующую строку таблицы. Если даны оба катета, вычисляйте площадь; если дана площадь и один катет, используйте формулу для второго. В каждой строке основание и высота — взаимно перпендикулярные катеты.

Разбор задач

Задача 1. Найти площадь прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см. Так как даны оба катета, подходит формула S = ab / 2. Подставим значения и разделим их произведение на 2. В ответе укажем квадратные сантиметры, потому что площадь измеряется квадратными единицами.

1. Запишем данные: a = 6 см, b = 8 см.
2. Подставим их в формулу: S = 6 × 8 / 2 = 48 / 2 = 24 см².

Ответ: 24 см².

Задача 2. Площадь прямоугольного треугольника равна 30 см², один катет равен 5 см. Найти второй катет. Неизвестный катет обозначим b, а известный — a = 5 см. Из формулы площади получаем b = 2S / a; удвоение площади необходимо, потому что исходная формула содержит деление на 2.

1. Запишем данные: S = 30 см², a = 5 см.
2. Найдём неизвестную длину: b = 2 × 30 / 5 = 60 / 5 = 12 см.
3. Проверим: 5 × 12 / 2 = 30 см², что совпадает с условием.

Ответ: второй катет равен 12 см.

Задача 3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, один катет — 5 см. Найти площадь. Гипотенуза не образует прямой угол с известным катетом, поэтому напрямую подставлять её в формулу площади нельзя. Сначала найдём второй катет по теореме Пифагора, затем вычислим площадь по двум катетам.

1. Обозначим второй катет b. По теореме Пифагора 5² + b² = 13², поэтому b² = 169 − 25 = 144 и b = 12 см.
2. Вычислим площадь: S = 5 × 12 / 2 = 30 см².
3. Проверим, что для формулы использованы именно катеты: 5 см и 12 см, а не гипотенуза 13 см.

Ответ: 30 см².

Типичные ошибки

Иногда перемножают катеты и забывают разделить результат на 2. Так происходит, когда формулу площади треугольника путают с формулой площади прямоугольника. Проверьте, что записано именно S = ab / 2, а не S = ab. Если два одинаковых треугольника составляют прямоугольник, площадь одного из них не может быть равна площади всего прямоугольника.

Другая ошибка — подставить гипотенузу вместо катета. Это случается, если ориентироваться только на длины сторон, не проверив, какие из них образуют прямой угол. Отметьте прямой угол: две прилегающие к нему стороны — катеты, а противолежащая — гипотенуза. Если в условии дана гипотенуза, но не оба катета, сначала выясните, можно ли найти недостающий катет.

Площадь могут записать без единиц измерения или указать сантиметры вместо квадратных сантиметров. Причина — смешение измерения длины и измерения поверхности. При умножении двух длин, например сантиметров на сантиметры, получаются квадратные сантиметры. Поэтому рядом с числом площади записывайте см², м² или другие квадратные единицы.

При поиске неизвестного катета некоторые используют S / a вместо 2S / a. Они забывают, что в формуле площади произведение катетов делится на 2, и неверно выполняют обратное преобразование. Для проверки подставьте найденный катет обратно в S = ab / 2. Если исходная площадь не получается, проверьте вычисления и наличие множителя 2.

Связь с другими темами

Для вычислений нужно знать, как распознать прямоугольный треугольник, различать его катеты и гипотенузу, а также находить площадь прямоугольника и треугольника. Если известна гипотенуза и один катет, недостающий катет можно найти по теореме Пифагора. Это позволяет перейти от данных о сторонах к площади.

Формула площади пригодится, когда сложную фигуру можно разделить на прямоугольные треугольники. Тогда находят площадь каждого треугольника отдельно и складывают результаты или, если требуется, вычитают ненужную часть. Такой приём помогает вычислять площади фигур, которые нельзя сразу представить прямоугольником или треугольником.

Что запомнить

• Катеты прямоугольного треугольника образуют прямой угол.
• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
• Формула площади: S = ab / 2.
• Катет можно рассматривать как основание, а второй катет — как высоту.
• Чтобы найти неизвестный катет, площадь удваивают и делят на известный катет.
• Площадь выражают в квадратных единицах.