8. Основное свойство дроби

Определения и обозначения

Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же ненулевое число, значение дроби не изменится. Например, 1/2 = 2/4, потому что обе части дроби 1/2 умножили на 2. Свойство позволяет получать удобные записи дроби, не меняя обозначенную ею величину.

Равные дроби — это дроби с разными или одинаковыми числителями и знаменателями, которые обозначают одну и ту же часть целого. Например, 3/5 и 21/35 равны, хотя записаны по-разному. Понимание равенства помогает заменять дробь другой записью, если с ней проще считать.

Сокращение дроби — деление её числителя и знаменателя на один и тот же общий делитель, отличный от нуля. Так из 6/8 можно получить 3/4, разделив оба числа на 2. Сокращение делает запись короче, но сохраняет значение дроби.

Несократимая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой не имеют общих делителей, кроме единицы. Например, 3/4 несократима: числа 3 и 4 нельзя разделить на одно и то же число больше единицы без остатка. Такой вид удобно использовать в окончательном ответе.

Как это устроено

Представь половину пирога: её можно разделить на две равные части и записать как 1/2, или разрезать весь пирог на четыре части и взять две — 2/4. Количество взятого пирога не изменилось, изменилось только число мелких долей. Поэтому при умножении числителя и знаменателя на одно и то же число мы одновременно считаем во столько же раз больше долей и во столько же раз мельче делаем каждую долю. Значение дроби остаётся прежним.

То же можно увидеть через деление: дробь a/b означает частное a : b. Если умножить оба числа на n, получится (a·n) : (b·n), а результат останется прежним, поскольку множитель n в числителе и знаменателе взаимно убирается. Поэтому записывают a/b = (a·n)/(b·n), где b ≠ 0 и n ≠ 0. Ноль не подходит: умножение на него даст нулевой знаменатель, а на ноль делить нельзя.

Можно выполнить обратное действие: разделить числитель и знаменатель на один и тот же общий делитель. Например, 12/18 = 2/3, потому что 12 и 18 разделили на 6. Их отношение не изменилось: оба числа уменьшились в одинаковое количество раз. Делитель должен быть ненулевым и делить каждое из двух чисел без остатка.

Чтобы понять, можно ли сократить дробь, ищут общий делитель её числителя и знаменателя. Если есть делитель больше единицы, обе части можно на него разделить; если такого делителя нет, дробь несократима. Например, в дроби 15/25 общий делитель — 5, поэтому её можно сократить до 3/5. Иногда удобно проверять делимость на 2, 3, 5 или сразу искать наибольший общий делитель.

Несократимый вид нужен, чтобы ответ был короче и его было легче сравнить с другими дробями. Можно сокращать дробь несколькими шагами: например, сначала на 2, затем на 3. В итоге получится тот же несократимый результат, что и при делении сразу на 6, потому что произведение делителей равно 6. Порядок сокращений меняет промежуточные записи, но не итоговую дробь.

Преобразования дроби по основному свойству

Сначала выбери нужное действие: умножение помогает получить равную дробь с подходящими числами, а деление — упростить запись. Затем проверь, что для числителя и знаменателя используется одно и то же число. При сокращении повторяй деление, пока не получишь несократимую дробь.

Разбор задач

Докажите, что дроби 3/5 и 21/35 равны. Нужно найти, можно ли получить вторую дробь из первой одинаковым действием с числителем и знаменателем. Числитель 3 превратился в 21 при умножении на 7, а знаменатель 5 превратился в 35 тоже при умножении на 7. Значит, применимо основное свойство дроби.

1. Сравним числители: 21 : 3 = 7.
2. Проверим знаменатели: 35 : 5 = 7.
3. Умножим обе части дроби 3/5 на 7: (3·7)/(5·7) = 21/35.

Мы изменили обе части дроби одинаково, поэтому значение не поменялось. Это доказывает равенство данных дробей. Ответ: 3/5 = 21/35.

Сократите дробь 84/126 и запишите результат в несократимом виде. Вместо последовательного деления на несколько чисел можно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя. Число 42 делит и 84, и 126, причём большего общего делителя у них нет. Разделим обе части дроби на 42.

1. Найдём общий делитель: 84 = 42·2, 126 = 42·3.
2. Разделим числитель и знаменатель на 42: 84/126 = (84:42)/(126:42).
3. Выполним деление: 84/126 = 2/3.
4. Проверим результат: у чисел 2 и 3 нет общего делителя, кроме 1.

Деление на общий делитель не меняет значение дроби, а проверка показывает, что сокращать дальше нельзя. Поэтому результат уже записан в несократимом виде. Ответ: 2/3.

Найдите число x: 18/30 = x/5. В правой дроби знаменатель равен 5, а в исходной дроби знаменатель 30. Чтобы получить 5, нужно разделить 30 на 6. По основному свойству числитель тоже надо разделить на 6, иначе значение дроби изменится.

1. Сократим дробь 18/30 на 6: 18/30 = 3/5.
2. Сравним равные дроби 3/5 и x/5: знаменатели одинаковы.
3. Значит, числители тоже одинаковы, поэтому x = 3.

Можно проверить ответ подстановкой: 18/30 сокращается до 3/5, что совпадает с x/5 при x = 3. Важно не делить только знаменатель: такое изменение не сохраняет дробь. Ответ: x = 3.

Типичные ошибки

• Делят или умножают только числитель либо только знаменатель. Так происходит, когда забывают, что дробь обозначает отношение двух чисел и изменить нужно обе его части. Проверка: убедись, что одно и то же действие выполнено и сверху, и снизу.

• Используют разные множители для числителя и знаменателя. Например, умножают числитель на 2, а знаменатель на 3, поэтому значение дроби обычно меняется. Проверь вычисления: множитель должен быть одним и тем же в обеих частях.

• Сокращают дробь на число, которое не является общим делителем. Если делитель не делит хотя бы одно из чисел без остатка, правильного целого результата не получится. Перед сокращением проверь деление числителя и знаменателя отдельно.

• Останавливаются после одного сокращения и объявляют дробь несократимой. Возможно, полученные числитель и знаменатель всё ещё делятся на общее число больше единицы. Проверь их общие делители; если сомневаешься, найди наибольший общий делитель.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно понимать, что показывают числитель и знаменатель, и уметь делить числа. Пригодятся знания о делимости, общих делителях и признаках делимости: они помогают быстро находить, на что сократить дробь. Дальше основное свойство используют при приведении дробей к общему знаменателю, сравнении, сложении и вычитании. Оно также помогает преобразовывать неправильные дроби и смешанные числа и выполнять другие действия с обыкновенными дробями.

Что запомнить

• При умножении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число значение дроби не изменяется.
• При делении числителя и знаменателя на один и тот же общий ненулевой делитель значение дроби не изменяется.
• Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя на общий делитель.
• Сокращать можно только числитель и знаменатель одновременно.
• Несократимая дробь имеет взаимно простые числитель и знаменатель.
• Равные дроби могут иметь разные числители и знаменатели.