"Математика", Козлов В.В., Никитин А.А., Белоносов В.С. и др. /Под ред. Козлова В.В. и Никитина А.А.
Степень числа — короткая запись произведения одинаковых множителей. Она помогает не повторять длинные записи и удобна в вычислениях: например, 4 · 4 · 4 записывают как 4³. Число 4 здесь называют основанием, а 3 — показателем: он показывает, сколько раз основание входит в произведение. Чтобы найти значение степени, раскрывают её в произведение и умножают. Вторая и третья степени имеют особые названия — квадрат и куб числа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Степень числа — произведение нескольких одинаковых множителей, записанное кратко. Например, вместо 4 · 4 · 4 можно написать 4³. Такая запись помогает компактно обозначать длинные произведения и сразу замечать, какие числа в них повторяются.
Основание степени — число, которое является одинаковым множителем. В записи 4³ основание — 4, потому что именно это число повторяется в произведении 4 · 4 · 4. Основание нужно, чтобы понять, какое число следует брать множителем.
Показатель степени — число, показывающее, сколько одинаковых множителей перемножают. В записи 4³ показатель равен 3: значит, множитель 4 встречается в произведении три раза. Благодаря показателю можно определить длину произведения, не записывая его сразу целиком.
Квадрат и куб числа — его вторая и третья степени соответственно. Например, 5² — квадрат числа 5, а 5³ — его куб. Эти названия помогают коротко говорить о второй и третьей степенях и встречаются в задачах о геометрических фигурах.
Когда одно и то же число умножают само на себя несколько раз, произведение можно заменить степенью. Например, в записи 4 · 4 · 4 три одинаковых множителя, поэтому её записывают как 4³. Это удобно: степень сразу показывает, какое число повторяется и сколько раз, даже если множителей много.
В записи 4³ число 4 называют основанием, потому что оно является повторяющимся множителем. Число 3 называют показателем, потому что оно сообщает, сколько таких множителей нужно взять. Если поменять эти числа местами, смысл записи изменится: основание отвечает на вопрос «что повторяется?», а показатель — «сколько раз?».
Степень 4³ читают «четыре в третьей степени» или «четыре в кубе». Показатель при этом не сообщает результат вычисления: он считает множители. Поэтому из записи 4³ следует произведение 4 · 4 · 4, а значение степени нужно находить отдельно.
Чтобы вычислить степень, сначала раскрывают её в произведение одинаковых множителей, а затем умножают. Например, 2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2; выполняя умножение, получаем 4 · 2 · 2 = 8 · 2 = 16. Такой порядок помогает не перепутать смысл показателя и проверить, что множителей записано нужное количество.
У второй и третьей степеней есть особые названия: квадрат и куб. Например, 6² читают «шесть в квадрате», а 6³ — «шесть в кубе». Эти слова используют не только при чтении степеней: квадрат числа встречается в задачах о площади квадрата, а куб — в задачах об объёме куба.
| Запись | Произведение одинаковых множителей | Название |
|---|---|---|
| a¹ | a | Первая степень числа a |
| a² | a · a | Квадрат числа a |
| a³ | a · a · a | Куб числа a |
| aⁿ | a · a · … · a (n множителей) | n-я степень числа a |
Чтобы пользоваться таблицей, найди запись степени и прочитай соответствующую строку. Она показывает, сколько раз основание a входит в произведение и как называется степень. В строке aⁿ буква n обозначает показатель, то есть количество множителей a.
Ответ: 6⁴; основание — 6, показатель — 4.
Ответ: 3⁴ = 81.
Ответ: 2³ < 3².
Иногда показатель принимают за значение степени: например, считают, что 3⁴ = 4. Так происходит, если сосредоточиться на маленькой цифре, а не на смысле записи. Проверь себя: показатель говорит о числе множителей, а значение нужно найти умножением; здесь 3⁴ = 81.
Другая ошибка — умножить основание на показатель и получить для 3⁴ выражение 3 · 4. Так путают возведение в степень с обычным умножением двух чисел. Раскрой степень: четыре множителя 3 дают 3 · 3 · 3 · 3, а не 3 · 4.
Можно перепутать основание и показатель, например назвать в 5³ основанием число 3. Обычно это происходит потому, что маленькая цифра кажется главной частью записи. Чтобы проверить себя, спроси, какое число повторяется в произведении: это 5, значит, 5 — основание, а 3 — показатель.
При раскрытии степени легко записать множителей на один меньше или больше, чем нужно. Ошибка возникает, если не пересчитать повторения после записи. Например, в 2⁴ должно быть ровно четыре двойки; пересчитай их вслух или отметь каждую по очереди.
Для работы со степенями нужно уметь умножать натуральные числа и различать множители и произведение. В произведении 4 · 4 · 4 множители — это три числа 4, а результат их умножения — значение степени 4³. Такое различие помогает сначала правильно раскрыть степень, а затем вычислить её.
Степени используются в геометрии: квадрат числа связан с вычислением площади квадрата, а куб числа — с вычислением объёма куба. Например, если сторона квадрата равна 5, его площадь записывают как 5². Понимание степеней помогает коротко записывать подобные вычисления.
Что показывает показатель степени?
Показатель показывает, сколько одинаковых множителей нужно перемножить. Например, в записи 3⁴ число 3 повторяется в произведении четыре раза.
Как найти значение степени числа?
Запиши основание множителем столько раз, сколько показывает показатель, а затем выполни умножение. Например, 2³ = 2 · 2 · 2 = 8.
Чем основание степени отличается от показателя?
Основание — это число, которое повторяется в произведении. Показатель указывает, сколько раз это число нужно взять множителем.
Почему 3⁴ — это не 3 · 4?
Потому что показатель 4 означает, что число 3 нужно взять множителем четыре раза. Поэтому 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81, а не 3 · 4.
Как называют вторую и третью степень числа?
Вторую степень числа называют квадратом числа: например, 5² — квадрат числа 5. Третью степень называют кубом: 5³ — куб числа 5.
§ 2. Степень числа
