§ 3. Системы счисления

Определения и обозначения

Система счисления — способ записи и обозначения чисел с помощью определённых цифр и правил их использования. Например, числа можно записывать привычными цифрами 0–9 или римскими знаками I, V, X. Это понятие нужно, чтобы различать само число и способ, которым его записали.

Основание системы счисления — число, показывающее, сколько цифр используется в системе и во сколько раз изменяется значение разряда при переходе на один разряд влево. У десятичной системы основание 10, а у двоичной — 2. Зная основание, можно определить допустимые цифры и понять устройство разрядов.

Цифра — знак, с помощью которого записывают числа; набор допустимых цифр зависит от основания системы. В десятичной системе цифр десять: от 0 до 9, а в двоичной — две: 0 и 1. Это определение помогает проверять, можно ли записать выбранный знак в данной системе.

Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры определяется не только самой цифрой, но и её положением в записи числа. Например, в числе 55 одна цифра 5 обозначает десятки, а другая — единицы. Понимание позиции нужно, чтобы верно находить значение числа по его записи.

Как это устроено

Людям нужны разные системы счисления, потому что разные способы записи удобны для разных задач. В повседневных расчётах привычна десятичная система, а для работы компьютера удобен двоичный код из двух знаков. При этом запись числа — это набор символов по правилам, а числовое значение — количество, которое эти символы обозначают. Одно и то же значение можно записать по-разному, если изменить систему.

В позиционной системе цифра меняет значение вместе с местом, которое занимает. Например, в числе 22 левая двойка обозначает два десятка, а правая — две единицы. Римская запись устроена иначе: знак I обозначает единицу, V — пять, а X — десять; значение знаков не задаётся разрядом, как в десятичной записи. Поэтому десятичная система позиционная, а римскую запись относят к непозиционной.

Основание n задаёт число разных цифр, начиная с нуля, поэтому допустимы знаки от 0 до n − 1. Если основание равно 2, подходят только 0 и 1; цифра 2 уже недопустима. Основание также определяет разряды: в десятичной системе это единицы, десятки, сотни, то есть степени числа 10. В двоичной системе разряды соответствуют степеням числа 2: единицы, двойки, четвёрки, восьмёрки и далее.

Чтобы найти значение позиционной записи, каждую цифру умножают на значение её разряда, а результаты складывают. Разряд справа соответствует основанию в нулевой степени, следующий — в первой, затем идут вторая и следующие степени. Например, запись 314₁₀ означает 3 · 10² + 1 · 10¹ + 4 · 10⁰. Такой способ объясняет, почему цифра в разряде сотен в десять раз весомее такой же цифры в разряде десятков.

Перевод в десятичную систему выполняют разложением по степеням основания: цифры умножают на нужные степени и складывают. Чтобы перевести десятичное число в систему с основанием n, его последовательно делят на n и записывают остатки. Остатки читают снизу вверх, потому что первый остаток относится к разряду единиц, а последующие — к более крупным разрядам. После перевода полезно проверить результат обратным разложением.

Сравнение систем счисления

Сравнивай прежде всего допустимые знаки и правило, по которому определяется значение цифры. Десятичная и двоичная системы позиционные: в них разряды связаны со степенями основания. Римская запись полезна для обозначений, но не использует такую систему разрядов.

Разбор задач

Значение цифр в числе 507

Нужно определить, какой разряд занимает каждая цифра, и представить число суммой разрядных слагаемых. Запись без нижнего индекса считаем десятичной. Справа находятся единицы, слева от них — десятки, затем сотни.

1. Цифра 7 стоит в разряде единиц, поэтому её значение — 7 · 1 = 7.
2. Цифра 0 стоит в разряде десятков, поэтому её значение — 0 · 10 = 0.
3. Цифра 5 стоит в разряде сотен, поэтому её значение — 5 · 100 = 500.
4. Складываем значения разрядов: 500 + 0 + 7 = 507.

Ответ: цифра 5 обозначает пять сотен, цифра 0 — ноль десятков, цифра 7 — семь единиц; 507 = 500 + 0 + 7.

Перевод числа 101101₂ в десятичную систему

В двоичной записи крайняя правая цифра относится к разряду 2⁰, а каждая следующая слева — к очередной степени двойки. Поэтому сначала подпишем степени от 0 до 5 справа налево. Цифры 0 не дают вклада в сумму, но их разряды пропускать нельзя.

1. Запишем разложение: 101101₂ = 1 · 2⁵ + 0 · 2⁴ + 1 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 1 · 2⁰.
2. Вычислим степени двойки: 2⁵ = 32, 2⁴ = 16, 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2, 2⁰ = 1.
3. Умножим цифры на значения разрядов: 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1.
4. Сложим ненулевые слагаемые: 32 + 8 + 4 + 1 = 45.

Ответ: 101101₂ = 45₁₀. Проверка разложения показывает, что нули сохраняют место разряда, хотя и не прибавляют значения.

Перевод числа 83₁₀ в двоичную систему

При делении на 2 каждый остаток будет цифрой двоичной записи. Остаток от первого деления относится к единицам, поэтому его нельзя ставить в начало ответа. Чтобы получить запись в правильном порядке, прочитаем остатки снизу вверх.

1. Делим 83 на 2: получаем 41 и остаток 1.
2. Делим 41 на 2: получаем 20 и остаток 1; затем 20 на 2: 10 и остаток 0.
3. Продолжаем: 10 на 2 — 5 и остаток 0; 5 на 2 — 2 и остаток 1; 2 на 2 — 1 и остаток 0; 1 на 2 — 0 и остаток 1.
4. Читаем остатки снизу вверх: 1010011₂.
5. Проверяем: 1010011₂ = 1 · 2⁶ + 0 · 2⁵ + 1 · 2⁴ + 0 · 2³ + 0 · 2² + 1 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 64 + 16 + 2 + 1 = 83.

Ответ: 83₁₀ = 1010011₂. Обратное разложение вернуло исходное число, значит, перевод выполнен верно.

Типичные ошибки

В системе с основанием n нельзя использовать цифру n или большую. Например, цифра 2 недопустима в двоичной записи, потому что разрешены только 0 и 1. Такую ошибку допускают, когда переносят привычные цифры из десятичной системы без проверки основания. Проверь себя: все цифры должны быть меньше основания.

Нельзя читать позиционную запись как обычную сумму цифр. В числе 507 цифры не дают 5 + 0 + 7, потому что пятёрка обозначает сотни, а семёрка — единицы. Ошибка появляется, если забыть о разрядах. Для проверки подпиши разряд каждой цифры и умножь её на значение этого разряда.

При переводе делением остатки записывают не в том порядке, если читают их сверху вниз. Тогда разряды оказываются перевёрнутыми, и получается другое число. Первый остаток относится к единицам, поэтому он должен стать последней цифрой записи. Проверь порядок: читай остатки от последнего деления к первому и выполни обратный перевод.

Основание системы не прибавляют к записанному числу. Например, нижний индекс в записи 101₂ сообщает, что число записано в двоичной системе, а не означает прибавление двойки. Путаница возникает из-за того, что основание стоит рядом с числом. Уточни, где находится нижний индекс, и проверь, меняется ли значение при переводе записи в другую систему.

Связь с другими темами

Для работы с системами счисления нужно уметь читать и записывать натуральные числа, различать их разряды и выполнять действия с нулём. Эти знания помогают находить значение каждой цифры в записи. Понадобятся также степени числа и разложение числа на разрядные слагаемые: без них трудно выполнить перевод по степеням основания. Позже тема встретится в информатике, где двоичное кодирование помогает объяснить, как компьютер представляет данные нулями и единицами.

Что запомнить

• Система счисления задаёт цифры и правила записи чисел.
• В позиционной системе значение цифры зависит от её положения.
• Основание системы определяет количество допустимых цифр.
• В десятичной системе значение каждого разряда в десять раз больше значения соседнего разряда справа.
• Число в позиционной системе можно представить как сумму цифр, умноженных на степени основания.
• При переводе делением остатки читают снизу вверх.
• Правильность перевода можно проверить обратным преобразованием.