Системы счисления

Определения и обозначения

Система счисления — способ записи чисел с помощью определённых знаков и правил. Она нужна, чтобы кратко обозначать количества и понимать записи других людей. Благодаря общим правилам числа можно сравнивать и использовать в вычислениях.

Позиционная система счисления — система, в которой значение цифры зависит от её места в записи числа. Например, в числе 22 одна двойка означает два десятка, а другая — две единицы. Такое устройство позволяет небольшим набором цифр записывать сколь угодно большие числа.

Основание системы счисления — количество различных цифр в позиционной системе; оно задаёт вес каждого разряда. В системе с основанием n используют n цифр со значениями от 0 до n−1. По основанию можно определить, какие знаки разрешены и во сколько раз отличаются соседние разряды.

Разряд числа — место цифры в записи, соответствующее определённой степени основания системы. Крайний правый разряд имеет вес a⁰, следующий — a¹, затем a² и так далее, где a — основание. Разряд показывает, сколько единиц, десятков, двоек или других групп содержит цифра.

Как это устроено

Единые правила записи нужны потому, что само количество нельзя удобно передавать каждый раз полным описанием. Набор знаков и порядок их использования превращают количество в короткую запись. По такой записи можно выполнять сложение, вычитание и другие действия по известным алгоритмам.

В непозиционной записи знак сохраняет одно и то же значение независимо от места. В позиционной записи одна и та же цифра может обозначать единицы, десятки или более крупные группы. Это возможно потому, что место цифры связано с определённой степенью основания, поэтому запись получается компактнее.

Основание определяет набор цифр: в системе с основанием n нужны ровно n значений — от 0 до n−1. После цифры n−1 нельзя использовать новый знак с тем же разрядом, поэтому выполняют перенос в следующий разряд. Например, после 1 в двоичной системе идёт 10₂, потому что цифры 2 там нет.

Разрядная запись складывается из вкладов отдельных цифр. Если цифры числа равны d₃, d₂, d₁ и d₀, то запись имеет значение d₃·a³ + d₂·a² + d₁·a¹ + d₀·a⁰. Умножение на степень основания показывает, сколько единиц соответствующего разряда содержится в числе.

Одно и то же количество получает разные записи при смене основания, потому что меняются и допустимые цифры, и веса разрядов. Например, тринадцать единиц записываются как 13₁₀ в десятичной системе и 1101₂ в двоичной. Записи различны, но их разложения дают одинаковый результат.

Сравнение позиционных систем счисления

В таблице сопоставлены десятичная, двоичная и произвольная системы. Для чтения записи сначала найдите основание, затем определите веса разрядов справа налево. Последнюю строку удобно использовать для проверки: разложения разных записей должны давать одно и то же количество.

Разбор задач

Задача 1. Разложение десятичного числа

Условие. Запишите число 23 в десятичной системе как сумму разрядных слагаемых. Нужно определить, какой вклад дают цифры 2 и 3 с учётом их мест.

1. Цифра 3 стоит в крайнем правом разряде, поэтому её вес равен 10⁰ = 1.
2. Цифра 2 стоит левее, поэтому её вес равен 10¹ = 10.
3. Умножаем цифры на веса разрядов и складываем результаты: 2·10¹ + 3·10⁰ = 20 + 3.

Ответ: 23₁₀ = 2·10¹ + 3·10⁰ = 20 + 3. Разложение показывает, что в числе 23 два десятка и три единицы. Начинать запись с 10⁰ нужно именно потому, что справа находятся единицы.

Задача 2. Запись числа 13 в двоичной системе

Условие. Запишите число 13₁₀ в двоичной системе, используя разложение по степеням 2. Нужно выбрать такие степени двойки, сумма которых равна 13, и поставить единицы в соответствующие разряды.

1. Наибольшая подходящая степень — 2³ = 8, поэтому в разряде 2³ ставим 1; остаётся 13 − 8 = 5.
2. Берём 2² = 4, ставим 1; остаётся 5 − 4 = 1.
3. Степень 2¹ = 2 не подходит, поэтому ставим 0; для 2⁰ = 1 ставим 1.
4. Получаем разряды 1, 1, 0, 1 слева направо.

Ответ: 13₁₀ = 1101₂. Проверка выглядит так: 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13. Нулём отмечен разряд двойки, который в разложение не входит.

Задача 3. Перевод двоичной записи

Условие. Переведите запись 1011₂ в десятичную систему и проверьте, что обе записи обозначают одно число. Каждую двоичную цифру нужно умножить на вес её разряда, а не просто сложить цифры.

1. Справа налево подпишем веса: 2⁰, 2¹, 2² и 2³.
2. Раскроем запись: 1·2³ + 0·2² + 1·2¹ + 1·2⁰.
3. Вычислим значения слагаемых: 8 + 0 + 2 + 1 = 11.

Ответ: 1011₂ = 11₁₀. Проверка выполнена разложением по степеням основания 2. Нулевая цифра не даёт вклада, но её разряд нельзя пропускать, потому что он сохраняет положение следующих цифр.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что в любой системе используются цифры от 0 до 9. Так думают из-за привычки к десятичной записи, но набор цифр задаётся основанием. Проверьте допустимость каждой цифры: она должна быть меньше основания.

Ошибка 2. Читать цифру независимо от её позиции. Одна и та же цифра в разных разрядах имеет разные веса, поэтому её нельзя рассматривать отдельно от места. Для проверки подпишите над цифрами степени основания.

Ошибка 3. Начинать разложение с первой степени основания. Крайний правый разряд соответствует a⁰, потому что содержит единицы. Пересчитайте разряды справа налево: номера должны идти 0, 1, 2 и далее.

Ошибка 4. При переводе забывать умножить цифру на вес её разряда. Простое сложение цифр не учитывает десятки, двойки или другие группы. Раскройте всю запись и сравните полученную сумму с исходным числом.

Связь с другими темами

До изучения систем счисления нужно уверенно понимать натуральные числа и разрядный состав десятичной записи. Полезно также знать, как умножение на 10 изменяет разряд числа: каждая цифра переходит в разряд с в десять раз большим весом. Эти знания помогают увидеть общий принцип позиционной записи.

Разные основания пригодятся при изучении алгоритмов вычислений и информатики. В компьютерах особенно важна двоичная система, потому что два её значения удобно связывать с двумя состояниями устройства. Перевод записей помогает понимать способы представления и хранения информации.

Что запомнить

• Основание позиционной системы задаёт количество используемых цифр.
• Допустимые цифры системы с основанием n имеют значения от 0 до n−1.
• Вес разряда справа налево равен последовательной степени основания, начиная с нулевой.
• Запись позиционного числа означает сумму разрядных слагаемых.
• Одинаковая запись в системах с разными основаниями может обозначать разные числа.
• Одно и то же количество можно записать в разных системах счисления.