Измерение несколькими мерками

Определения и обозначения

Мерка — выбранный единичный отрезок или предмет, которым измеряют величину. Например, это может быть полоска длиной 1 см или палочка заданной длины. Мерка нужна, чтобы сравнивать с ней другие величины.

Измерение величины — сравнение величины с меркой и подсчёт количества уложившихся мерок. Мерки прикладывают последовательно, без промежутков и наложений. Так получают числовой результат измерения.

Число мерок — числовая часть результата, показывающая, сколько раз мерка содержится в измеряемой величине. Например, запись 4 мерки означает, что выбранная единица уложилась четыре раза. Без указания размера мерки это число не позволяет полностью понять величину.

Измерение несколькими мерками — определение величины с помощью мерок разных размеров и совместная запись результата. Обычно сначала используют крупную мерку, а затем мелкую для оставшейся части. Такая запись показывает состав величины точнее.

Как это устроено

Одну величину можно измерять мерками разных размеров, потому что любая мерка задаёт свой способ отсчёта. Крупная мерка быстро показывает, сколько больших частей содержит объект, а мелкая уточняет то, что не удалось измерить крупной. Это похоже на размен: целое удобно набрать крупными единицами, а остаток — маленькими.

Мерки укладывают последовательно от одного края объекта к другому. Сначала отмечают границу последней крупной мерки, а затем продолжают измерять оставшийся участок мелкими. Так части не пропускают и не считают повторно; полезно каждый раз начинать следующую мерку ровно там, где закончилась предыдущая.

Результат записывают несколькими числами в том же порядке, в каком использовали мерки. Например, запись 2 крупные мерки и 3 мелкие означает: сначала уложились две крупные единицы, затем три мелкие. Нельзя оставить числа без названий мерок, поскольку тогда непонятно, к каким единицам они относятся.

Числа результатов нельзя сравнивать отдельно от размеров мерок. Две большие мерки могут быть длиннее пяти маленьких, хотя 2 меньше 5. Чтобы сравнение было честным, обе записи переводят к одной мерке или находят величину каждой записи в одинаковых единицах.

Если известны размеры мерок, составную запись превращают в общую величину. Для этого число каждой мерки умножают на её размер, а затем складывают полученные части: 3 мерки по 4 см и 2 мерки по 1 см дают 3 · 4 + 2 · 1 = 14 см. Такой способ связывает запись несколькими мерками с обычным числовым значением.

Измерение одной величины одной и несколькими мерками

В таблице сначала определите, какие мерки использованы и сколько раз они уложились. Затем посмотрите, сохраняется ли в записи порядок единиц и можно ли сравнить результаты напрямую. Если мерки разные, переведите их к одному размеру.

Последняя строка особенно важна: одинаковые числа ещё не означают одинаковые величины, пока не учтён размер мерки.

Разбор задач

Задача 1

Отрезок имеет длину 13 см. Нужно представить его с помощью мерок по 5 см и по 1 см. Крупная мерка показывает большие части отрезка, а сантиметровая мерка измеряет остаток.

1. Найдём, сколько раз по 5 см помещается в 13 см: 2 раза, потому что 2 · 5 = 10.
2. Определим остаток: 13 − 10 = 3 см.
3. Три сантиметра — это 3 мерки по 1 см.
4. Запишем результат в порядке от крупной мерки к мелкой: 2 мерки по 5 см и 3 мерки по 1 см.

Ответ: 2 крупные мерки и 3 мелкие мерки.

Задача 2

Сравним 2 мерки по 4 см и 3 мерки по 2 см, а затем 1 мерку по 4 см и 5 мерок по 2 см. Отдельные числа сравнивать нельзя, потому что размеры мерок различаются.

1. В первой паре вычислим величины: 2 · 4 = 8 см, а 3 · 2 = 6 см.
2. Сравним результаты: 8 см больше 6 см, значит, 2 мерки по 4 см больше 3 мерок по 2 см.
3. Во второй паре получаем: 1 · 4 = 4 см, а 5 · 2 = 10 см.
4. Следовательно, 1 мерка по 4 см меньше 5 мерок по 2 см.

Ответ: 2 мерки по 4 см больше 3 мерок по 2 см; 1 мерка по 4 см меньше 5 мерок по 2 см.

Задача 3

Мерка A в 3 раза длиннее мерки B. Отрезок измерили как 2 мерки A и 4 мерки B. Требуется выразить весь отрезок только в мерках B.

1. Заменим одну мерку A тремя мерками B, потому что A в 3 раза длиннее B.
2. Две мерки A заменяются двумя группами по 3 мерки B: 2 · 3 = 6 мерок B.
3. Добавим уже имеющиеся 4 мерки B: 6 + 4 = 10.

Ответ: для измерения всего отрезка потребуется 10 мерок B.

Типичные ошибки

Сравнивают только количество мерок и не учитывают их размеры. Так бывает, когда ученик видит 5 и 2 и сразу считает 5 больше 2, хотя пять маленьких мерок могут быть короче двух больших. Проверка: умножьте каждое количество на размер соответствующей мерки.

Смешивают числа разных мерок в одной записи, потому что не сохраняют порядок и обозначения. Запись вроде 2 и 3 не показывает, что именно измерено. Проверка: подпишите рядом с каждым числом его мерку.

Одну часть объекта считают дважды или оставляют промежуток между соседними мерками. Причина — мерки прикладывают не от границы предыдущей, а примерно. Проверка: отмечайте конец каждой мерки и убедитесь, что следующая начинается именно там.

Складывают количества мерок без перевода к одной единице. Например, 2 крупные и 3 мелкие не всегда дают 5 одинаковых мерок. Сначала замените крупные мерки равным числом мелких или вычислите размеры всех частей.

Связь с другими темами

До этой темы нужны сравнение величин, счёт, разложение числа на части и измерение одной меркой. Дальше тот же подход используется при переводе единиц длины, массы и времени, а также при вычислении периметра и работе с составными величинами.

В математической модели составной результат записывают как сумму произведений: количество каждой мерки умножают на её размер, затем складывают части. Это помогает переходить от наглядного измерения к вычислениям.

Что запомнить

• Мерка — единица, с которой сравнивают измеряемую величину.
• Результат измерения показывает, сколько раз выбранная мерка содержится в величине.
• При использовании нескольких мерок нужно учитывать размер каждой мерки.
• Запись результата должна сохранять соответствие между числом и меркой.
• Для сравнения результатов их нужно выразить через одну и ту же мерку.
• Составной результат можно представить как сумму частей, измеренных разными мерками.