"Математика (в 2 книгах)", Давыдов В.В.,Горбов С.Ф., Микулина Г.Г., Савельева О.В.
Длина, масса, время и другие свойства предметов и явлений выражаются величинами. Чтобы сравнить такие свойства или выполнить с ними вычисления, величины измеряют и записывают с помощью чисел и единиц измерения. Число показывает, сколько выбранных единиц содержится в величине, поэтому при смене единицы оно может измениться, хотя сама величина останется прежней. Главное — учитывать единицы при сравнении и вычислениях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Измерение величины — установление того, сколько раз выбранная единица измерения содержится в величине. Например, чтобы измерить длину, сравнивают её с единицей длины. Это позволяет выразить свойство предмета числом и сопоставить результат с другими измерениями.
Единица измерения — величина, принятая за меру для сравнения и измерения величин того же рода. Например, сантиметр служит единицей длины, а килограмм — единицей массы. Единица нужна, чтобы результаты измерений были понятны и сопоставимы.
Числовое значение величины — число, показывающее, сколько единиц измерения содержится в величине. Если длина равна 3 м, её числовое значение при выбранной единице «метр» равно 3. Это число помогает выполнять вычисления, но без указания единицы не сообщает, какую величину измеряли.
Числовая характеристика величины — запись величины числом вместе с выбранной единицей измерения. Запись «3 м» означает три метра, а «300 см» — триста сантиметров. Такая характеристика задаёт величину однозначно и помогает не перепутать разные единицы.
Величины описывают свойства предметов и явлений: например, длину дороги или время поездки. Сравнивать величины непосредственно можно, если они относятся к одному роду и их можно соотнести друг с другом. Так, две длины можно сравнить, приложив отрезки или сопоставив их измерения, но нельзя напрямую сравнить длину с массой: это разные свойства.
Для точного сравнения величины измеряют одной и той же единицей. Причина в том, что тогда числовые значения показывают количество одинаковых мер и их можно сопоставить. Если длина одного отрезка равна 4 см, а другого — 7 см, второй отрезок длиннее; отношение значений 7 к 4 также показывает, во сколько раз он длиннее.
Число само по себе не задаёт величину, потому что числовое значение зависит от размера выбранной единицы. Например, длина 1 м записывается как 1, если измерять метрами, и как 100, если сантиметрами. Поэтому при чтении результата нужно учитывать не только число, но и единицу, с которой его получили.
При переходе к более мелкой единице числовое значение увеличивается, потому что в той же величине помещается больше таких единиц. При переходе к более крупной единице значение уменьшается: крупных мер требуется меньше. Например, 2 м = 200 см, но в обеих записях речь идёт об одной и той же длине.
Числа позволяют складывать и сравнивать величины, однако вычисления имеют смысл только вместе с единицами и ситуацией. Перед действием нужно привести величины к общей единице, чтобы складывать одинаковые меры. После вычисления проверь, правдоподобен ли результат: сумма двух длин должна быть не меньше каждой из них, а единица ответа должна соответствовать вопросу.
| Что рассматриваем | Смысл | Пример | Что меняется при выборе другой единицы |
|---|---|---|---|
| Величина | Свойство предмета или явления, которое можно измерить. | Длина отрезка. | Ничего: сама длина сохраняется. |
| Единица измерения | Мера, с которой сравнивают величину. | Метр или сантиметр. | Выбирают другую меру того же рода. |
| Числовое значение | Количество выбранных единиц в величине. | 3 м: значение 3; 300 см: значение 300. | Обычно меняется в зависимости от размера единицы. |
| Запись величины | Число вместе с единицей измерения. | 3 м или 300 см. | Меняется запись, но не величина. |
Сначала определи, какое свойство рассматривается, а затем найди единицу и числовое значение. Последний столбец помогает отделить изменение записи от изменения самой величины. Используй это различие, когда переводишь единицы или сравниваешь результаты измерений.
Задача 1. Сравнить отрезки длиной 3 м и 280 см. Числа 3 и 280 нельзя сравнить напрямую, потому что они относятся к разным единицам. Приведём длины к сантиметрам, чтобы обе записи показывали количество одной и той же меры.
Ответ: 3 м > 280 см. Перевод в общую единицу нужен, чтобы сравнивать именно длины, а не числа, записанные в разных мерах.
Задача 2. Выразить 4 м 25 см в сантиметрах и в метрах. Сначала удобно разделить составную длину на целые метры и дополнительные сантиметры. Затем переведём каждую часть в требуемую единицу, не меняя общей длины.
Ответ: 4 м 25 см = 425 см = 4,25 м. Число стало больше при переходе к сантиметрам, потому что сантиметр меньше метра.
Задача 3. Два участка дороги имеют длины 1,8 км и 650 м. Найти общую длину в метрах и километрах. Прежде чем складывать, выразим обе длины одной единицей: так каждая часть суммы будет посчитана в одинаковых мерах. После сложения переведём результат во вторую требуемую единицу.
Ответ: общая длина равна 2450 м, или 2,45 км. Оба ответа обозначают одну величину, но записаны в разных единицах.
Сравнивать числа без учёта единиц. Например, можно ошибочно решить, что 300 см меньше 4 м, потому что 300 меньше 4. Такая ошибка возникает, когда забывают, что числовые значения зависят от выбранной меры. Переведи обе величины в одну единицу: 300 см = 3 м, значит, действительно 300 см < 4 м.
Считать, что при смене единицы меняется сама величина. Так думают, когда видят разные числа в записях «1 м» и «100 см». Меняется лишь способ выражения длины, поскольку сантиметр меньше метра. Проверка: переведи обе записи в одну единицу — получатся равные значения.
Складывать значения в разных единицах без перевода. Например, запись 2 м + 30 см = 32 м неверна: числа обозначают неодинаковые меры. Ошибку допускают, если выполняют действие только с числами и не читают обозначения единиц. Перед сложением запиши обе величины в метрах или сантиметрах и затем проверь единицу ответа.
Записывать результат только числом. Запись «5» не показывает, что измерено и в каких единицах получен результат. Единицу могут пропустить, если считают её очевидной из вычислений, но вне решения такая запись неоднозначна. Проверь ответ: рядом с числом должны стоять подходящая единица и название величины, если оно требуется.
Для работы с величинами нужны умение сравнивать предметы по общему свойству и навыки арифметических действий с числами. Представление о числовом значении пригодится при изучении единиц длины, массы, времени, площади и объёма: в каждой теме число связывают с выбранной мерой. Та же связь используется в текстовых задачах, при составлении формул и изучении зависимостей между величинами. Поэтому важно одновременно понимать вычисление и смысл единиц, которыми записан ответ.
Чем величина отличается от числа?
Величина описывает свойство предмета или явления, например длину отрезка. Число показывает, сколько выбранных единиц измерения содержится в этой величине. Поэтому запись «5 см» задаёт величину, а число 5 без единицы не сообщает, что именно измерено.
Почему одна и та же длина записывается разными числами?
Числовое значение зависит от того, какую единицу выбрали. Например, 1 м = 100 см: метр крупнее сантиметра, поэтому одной и той же длине соответствуют числа 1 и 100. Сама длина при этом не меняется.
Как понять, какую единицу выбрать для измерения?
Выбирай единицу, с которой удобно измерять величину и записывать результат. Для длины комнаты подходят метры, а для толщины листа — миллиметры. Если условие задачи требует конкретную единицу, используй её.
Почему перед сложением величин их нужно выразить в одинаковых единицах?
Числа показывают количество именно выбранных единиц, поэтому складывать можно только одинаковые по размеру единицы. Сначала, например, переведи метры в сантиметры, а затем сложи числовые значения. Иначе получится сумма несопоставимых чисел.
Может ли числовое значение величины быть дробным?
Да, если величина содержит нецелое число выбранных единиц. Например, длина 1,5 м равна полутора метрам, или 150 см. Дробное значение не означает, что сама величина задана неточно.
Величины и числа
