§ 1. Запись натуральных чисел

Определения и обозначения

Натуральное число — число, которое используют для счёта предметов и указания их количества. Ряд натуральных чисел начинается с 1: 1, 2, 3, 4 и так далее. Такие числа нужны, чтобы отвечать на вопрос «сколько?».

Цифра — один из десяти знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С помощью цифр записывают любые числа, подобно тому как из букв составляют слова. Одна и та же цифра может входить в записи разных чисел.

Разряд — позиция цифры в записи числа, от которой зависит её значение. Справа налево идут единицы, десятки, сотни, тысячи и следующие разряды. Это понятие помогает понять, сколько единиц каждого вида содержит число.

Класс числа — группа из трёх соседних разрядов, если считать справа налево. Выделяют класс единиц, класс тысяч, класс миллионов, класс миллиардов и другие. Классы помогают не потеряться при чтении и записи больших чисел.

Как это устроено

Для записи натуральных чисел достаточно десяти цифр, потому что каждая новая позиция может содержать от 0 до 9 единиц данного разряда. Когда цифр становится недостаточно, добавляют новую позицию слева. Поэтому из одних и тех же знаков можно составить бесконечно много чисел.

Значение цифры зависит от её положения, потому что каждая следующая позиция слева содержит в десять раз больше единиц. В числе 555 первая справа цифра означает 5 единиц, следующая — 5 десятков, а последняя — 5 сотен. Цифры одинаковы, но их значения равны соответственно 5, 50 и 500.

Разряды образуют последовательность единиц: 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000 и далее. Десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего разряда: 10 единиц равны 1 десятку, 10 десятков — 1 сотне. Именно поэтому запись чисел строится по десятичной системе.

Запись большого числа делят на группы по три цифры справа налево, потому что в каждом классе помещаются единицы, десятки и сотни одного вида. Например, 604 019 307 состоит из групп 604, 019 и 307. Такое разделение облегчает чтение: 604 миллиона 19 тысяч 307 единиц.

Чтобы определить значение цифры, сначала находят её разряд, а затем умножают цифру на соответствующую разрядную единицу. В числе 7 204 цифра 2 стоит в разряде сотен, поэтому её значение равно 200. Запись можно разложить на сумму ненулевых значений: 7 204 = 7 000 + 200 + 4.

Разряды и классы натурального числа

Чтобы пользоваться таблицей, сначала найдите нужный класс, а затем определите позицию цифры внутри него. Группа 042 означает 0 сотен тысяч, 4 десятка тысяч и 2 тысячи; начальный ноль сохраняет размер группы. В полной записи числа пробелы ставят между классами, а не внутри группы.

Разбор задач

Задача 1

Запишем цифрами число «триста восемьдесят пять тысяч семьдесят два». Словесная запись содержит класс тысяч и класс единиц. В классе единиц нет сотен, поэтому это место займёт ноль.

1. Класс тысяч: «триста восемьдесят пять тысяч» — записываем 385.
2. Класс единиц: «семьдесят два» — это 072, потому что сотен нет.
3. Соединяем группы справа налево: 385 072.

Ответ: 385 072.

Задача 2

Прочитаем число 604 019 307 и представим его как сумму разрядных слагаемых. Сначала отделим классы: 604 миллионов, 019 тысяч и 307 единиц. Нулевые разряды в сумму не включаем.

1. Цифра 6 означает 600 000 000, цифра 4 — 4 000 000.
2. В классе тысяч цифра 1 означает 10 000; ноль в разряде тысяч ничего не добавляет.
3. В классе единиц цифры 3, 0 и 7 дают 300, 0 и 7.
4. Получаем: 604 019 307 = 600 000 000 + 4 000 000 + 10 000 + 300 + 7.

Ответ: шестьсот четыре миллиона девятнадцать тысяч триста семь.

Задача 3

Запишем число, в котором 7 сотен миллионов, 3 десятка тысяч, 5 сотен и 9 единиц. Каждая названная часть указывает конкретный разряд, а неназванные разряды заполняются нулями. Самый большой ненулевой разряд сразу подсказывает количество цифр.

1. Сотни миллионов дают цифру 7 в первом разряде.
2. Десятки тысяч дают цифру 3, сотни — 5, единицы — 9.
3. Расставляем нули между ними: 700 030 509.
4. В записи 9 цифр, старший разряд — сотни миллионов.

Ответ: 700 030 509; 9 цифр; старший разряд — сотни миллионов.

Типичные ошибки

Путают цифру и число. Нельзя называть 347 цифрой: это число, записанное тремя цифрами. Для проверки спросите себя, является ли запись одним знаком или состоит из нескольких знаков.

Пропускают нулевые разряды. Запись 405 006 нельзя превратить в 45 6, потому что цифры потеряют свои позиции. Проверьте себя, разделив число на группы по три цифры.

Неверно выделяют классы. Иногда отсчёт начинают слева, но классы всегда формируют от правого края. Поставьте пробелы между каждой третьей цифрой справа и пересчитайте группы.

Неверно находят значение цифры. Цифра 6 в числе 60 000 означает 60 000, а не 6, поскольку стоит в разряде десятков тысяч. Назовите разряд цифры и только потом определяйте её значение.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь считать предметы, знать последовательность натуральных чисел и читать числа в пределах тысячи. Эти навыки помогают понимать, как изменяется значение цифры при переходе к следующему разряду.

Разряды и классы понадобятся при сравнении и округлении многозначных чисел, письменных вычислениях и решении текстовых задач. По старшему разряду часто начинают сравнение чисел и оценивают их величину.

Позже эти знания используются при изучении десятичных дробей и позиционной записи чисел. Понимание места цифры помогает читать и целую, и дробную части числа.

Что запомнить

• Натуральные числа используют для счёта и обозначения количества.
• Для записи чисел применяют десять цифр: от 0 до 9.
• Значение цифры определяется её разрядом.
• Три соседних разряда образуют класс.
• Классы отсчитывают справа налево: единицы, тысячи, миллионы и далее.
• Нули сохраняют место пропущенных разрядов.
• Число можно представить как сумму значений его цифр по разрядам.