§ 4. Таблицы и формулы

Определения и обозначения

Таблица — это способ расположить данные по строкам и столбцам. Заголовки показывают, что записано в каждой строке или колонке: например, количество, цена или стоимость. Благодаря им числа легко найти, сравнить и не перепутать.

Буквенное выражение — запись, в которой числа и действия могут быть обозначены буквами и знаками. Например, 4a + 7 содержит букву a вместо некоторого числа. Буквы удобны, когда одно правило нужно применять к разным числам.

Значение буквенного выражения — число, полученное после подстановки заданных значений букв и выполнения действий. Если a = 6, то в выражении 4a + 7 вместо a записывают 6. Так буквенное выражение превращается в обычное числовое.

Формула — равенство, которое с помощью букв и знаков действий задаёт правило вычисления. Например, s = 60t связывает путь s и время t: зная время, можно найти путь. Формула позволяет быстро решать много похожих задач.

Как это устроено

Чтобы составить таблицу, сначала определяют, какие данные нужно упорядочить. Затем называют столбцы так, чтобы по заголовку сразу было понятно содержание, и вносят каждое значение в подходящую строку. Такой порядок нужен, чтобы связанные данные находились рядом и их можно было сравнивать.

Таблицу читают не по отдельным числам, а с учётом заголовков. Сначала выясняют смысл строк и столбцов, потом находят нужную строку или колонку и сопоставляют данные на их пересечении. Поэтому число нельзя рассматривать отдельно от названия величины.

Чтобы вычислить значение выражения с буквами, заменяют каждую букву её известным значением. После подстановки выражение аккуратно переписывают и выполняют действия в том же порядке, что и в числовом выражении. Это помогает не потерять букву и не получить случайный ответ.

Формула описывает зависимость величин: одна величина задаётся через другую. Например, при постоянной скорости путь меняется вместе со временем, поэтому по известному времени можно вычислить путь. Если изменить исходное значение, результат тоже может измениться.

Таблицу значений по формуле получают в несколько приёмов. Выбирают несколько значений одной величины, каждое подставляют в формулу и записывают полученный результат рядом. Так становится заметно, как меняется одна величина при изменении другой.

Как работать с таблицами и формулами

Пользуйся таблицей как краткой инструкцией перед решением. Сначала определи смысл данных, затем выбери нужное действие: чтение, подстановку или вычисление по формуле. В конце проверь, не перепутаны ли строки, столбцы и единицы измерения.

Разбор задач

Стоимость тетрадей

Условие. В таблице указано количество тетрадей: 3, 5 и 8. Цена одной тетради — 12 рублей, поэтому нужно найти стоимость каждой покупки и добавить в таблицу новый столбец.

1. Назовём столбцы «Количество», «Цена одной тетради» и «Стоимость».
2. Для каждого количества умножим число тетрадей на 12: 3 · 12 = 36, 5 · 12 = 60, 8 · 12 = 96.
3. Запишем результаты напротив соответствующего количества: 3 — 36, 5 — 60, 8 — 96.

Ответ. Получается таблица со стоимостями 36, 60 и 96 рублей. Произведение количества на цену является формулой этой зависимости: стоимость = количество · 12.

Значение буквенного выражения

Условие. Найдём значение выражения 4a + 7 при a = 6. Буква a обозначает число 6, поэтому её нужно заменить этим числом.

1. Подставим значение: 4a + 7 = 4 · 6 + 7.
2. Сначала выполним умножение: 4 · 6 = 24.
3. Затем сложим: 24 + 7 = 31.

Ответ. Значение выражения равно 31. Порядок действий не изменился: сначала умножение, затем сложение.

Путь по формуле

Условие. Путь вычисляется по формуле s = 60t, где 60 — скорость, а t — время в часах. Нужно заполнить таблицу для 1, 2, 3 и 5 часов, а затем узнать время для пути 420 км.

1. Подставим значения времени: при 1 часе s = 60 · 1 = 60 км, при 2 часах s = 60 · 2 = 120 км.
2. Продолжим вычисления: при 3 часах s = 180 км, при 5 часах s = 300 км. В таблице будут пары: 1 и 60, 2 и 120, 3 и 180, 5 и 300.
3. Для обратной задачи составим 420 = 60t и разделим 420 на 60: t = 7 часов.

Ответ. За 1, 2, 3 и 5 часов пройдут соответственно 60, 120, 180 и 300 км. Расстояние 420 км пройдут за 7 часов.

Типичные ошибки

Ученик путает заголовки строк и столбцов и относит число не к той величине. Обычно это происходит, если смотреть только на число, не читая названия. Проверь себя: проведи взгляд от ячейки к обоим заголовкам и проговори, что именно означает запись.

При подстановке забывают заменить все появления буквы или не ставят скобки. Такая ошибка возникает, когда выражение переписывают слишком быстро. После подстановки сравни исходную запись с новой и убедись, что ни одной нужной буквы не осталось.

Иногда нарушают порядок действий и складывают раньше, чем умножают. Подстановка числа не меняет правила вычислений. Подчеркни действие, которое выполняется первым, а затем последовательно проверяй каждый шаг.

Формулу считают способом получить только одно значение. На самом деле она задаёт правило: при разных значениях одной величины можно получить разные значения другой. Для проверки подставь в формулу ещё одно допустимое число и сравни результат.

Связь с другими темами

До изучения таблиц и формул нужно уметь выполнять сложение, вычитание, умножение и деление, а также соблюдать порядок действий. Эти навыки нужны при подстановке чисел в буквенные выражения и при вычислениях по формуле.

Таблицы и формулы пригодятся при изучении зависимостей величин. Они помогают решать задачи на движение, стоимость покупок и периметр, потому что показывают, как изменение одной величины влияет на другую.

Что запомнить

• Заголовки таблицы объясняют смысл записанных в ней данных.
• Перед вычислением буквенного выражения подставь значения всех букв.
• После подстановки выполняй действия в установленном порядке.
• Формула задаёт правило вычисления одной величины через другую.
• По формуле можно составить таблицу значений.
• Проверяй, соответствует ли полученный ответ условию задачи.