§ 3. Значения с недостатком и с избытком

Определения и обозначения

Приближённое значение — число, которым заменяют точное значение, если точное значение неизвестно или неудобно для записи. Например, длину предмета можно записать примерно как 15 см, даже если точное измерение даёт 14,8 см. Такое число помогает выполнять вычисления и сообщать результат проще.

Приближённое значение с недостатком — число, меньшее точного значения. Если точная длина равна 14,8 см, то 14 см — приближение с недостатком. Оно показывает величину снизу, то есть не превышает настоящее значение.

Приближённое значение с избытком — число, большее точного значения. Для длины 14,8 см таким приближением будет 15 см. Оно показывает величину сверху и немного превышает точное значение.

Точность приближения показывает, насколько близко приближённое число расположено к точному. Её связывают с разностью между этими значениями: чем меньше расстояние, тем точнее результат. Поэтому большое число цифр после запятой само по себе не гарантирует большей точности.

Как это устроено

Чтобы понять, является ли число приближённым, его сравнивают с точным значением. Без точного значения нельзя установить, меньше число или больше него, а значит, нельзя определить вид приближения. Например, число 8,3 может быть с недостатком относительно 8,4, но с избытком относительно 8,2.

Если приближённое значение меньше точного, его называют значением с недостатком, потому что в нём как бы не хватает части точной величины. Если приближённое значение больше, это значение с избытком: оно содержит больше, чем точное число. Граница между двумя случаями проходит в точном значении.

Для сравнения удобно использовать числовую прямую. На ней числа расположены по возрастанию слева направо, поэтому точка приближения с недостатком окажется левее точного значения, а точка приближения с избытком — правее. Такое расположение помогает не перепутать названия даже при работе с десятичными дробями.

Одно точное значение можно заменить несколькими приближёнными числами. Например, число 5,7 можно заменить числами 5 и 5,6 с недостатком, а также числами 5,8 и 6 с избытком. Все эти числа подходят по расположению, но находятся от точного значения на разных расстояниях.

Чтобы сравнить точность, находят разность между точным и приближённым значениями и рассматривают её как расстояние, поэтому результат берут положительным. Чем меньше это расстояние, тем точнее приближение. Например, 5,6 ближе к 5,7, чем 5, поэтому 5,6 является более точным приближением.

Приближённые значения точного числа

Сначала найдите в таблице строку, которая соответствует вашему вопросу. Затем сравните приближённое число с точным и проверьте его положение на числовой прямой. Для оценки точности дополнительно вычислите расстояние до точного значения.

Разбор задач

Задача 1

Условие: точное значение равно 8,4. Определите, какие из чисел 8,3 и 8,5 являются приближёнными значениями с недостатком и с избытком.

1. Сравним 8,3 и 8,4: 8,3 меньше 8,4.
2. Значит, 8,3 является значением с недостатком.
3. Сравним 8,5 и 8,4: 8,5 больше 8,4, поэтому это значение с избытком.

Ответ: 8,3 — с недостатком, 8,5 — с избытком.

Задача 2

Условие: рост ученика составляет 146,8 см. Запишите его приближённое значение в сантиметрах с недостатком и с избытком до целого числа.

1. Ищем целое число, расположенное ниже 146,8: это 146.
2. Ищем целое число, расположенное выше 146,8: это 147.
3. Проверяем сравнение: 146 < 146,8 < 147.

Ответ: с недостатком — 146 см, с избытком — 147 см.

Задача 3

Условие: расстояние равно 12,46 км. Из приближений 12,4 км и 12,5 км определите значения с недостатком и с избытком, а затем сравните их точность.

1. Число 12,4 меньше 12,46, значит, это значение с недостатком.
2. Число 12,5 больше 12,46, значит, это значение с избытком.
3. Найдём расстояния: 12,46 − 12,4 = 0,06 км; 12,5 − 12,46 = 0,04 км.
4. Сравним 0,06 и 0,04: меньшее расстояние означает более точное приближение.

Ответ: 12,4 — с недостатком, 12,5 — с избытком; точнее приближение 12,5 км.

Типичные ошибки

Иногда значение с недостатком называют просто меньшим числом. Но меньшим оно должно быть именно по сравнению с точным значением, а не с другим приближением. Проверяйте себя записью: приближение < точное значение.

Некоторые ориентируются на количество цифр после запятой и путают недостаток с избытком. Число цифр не определяет вид приближения: 8,30 может быть меньше или больше разных точных чисел. Всегда выполняйте сравнение.

Распространённая ошибка — считать, что приближение с избытком обязательно менее точное. Например, 12,5 ближе к 12,46, чем 12,4, хотя оно больше точного значения. Определяйте точность по расстоянию, а не по виду приближения.

При вычислении расстояния иногда вычитают меньшее число из большего не в том порядке и получают отрицательный результат. Расстояние между числами не бывает отрицательным. Вычитайте так, чтобы получить положительную разность, или сравнивайте модуль разности.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь сравнивать натуральные числа и десятичные дроби. Полезно также изображать числа на числовой прямой и понимать, что число левее другого является меньшим. Эти умения позволяют быстро определить недостаток и избыток.

Приближения используются при округлении чисел, измерении длины, массы и расстояния, а также при оценке результатов вычислений. Значение с недостатком даёт нижнюю оценку, а значение с избытком — верхнюю. Позже эти идеи помогут контролировать разумность полученного ответа.

Что запомнить

• Приближённое значение заменяет точное значение.
• Значение с недостатком меньше точного.
• Значение с избытком больше точного.
• На числовой прямой значение с недостатком находится левее точного, а с избытком — правее.
• Точность приближения зависит от того, насколько близко оно к точному значению.