§ 2. Какие бывают числа

Определения и обозначения

Натуральные числа — числа, которые используют при счёте предметов: 1, 2, 3 и так далее. В принятом здесь определении 0 к натуральным числам не относят. Эта группа помогает пересчитать яблоки, книги или шаги.

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им числа и нуль. Примеры положительных целых чисел: 4, 12, 100; отрицательных: −4, −12, −100. Целые числа нужны, когда приходится обозначать не только количество, но и направление или положение ниже нуля.

Рациональные числа — числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m — целое число, а n — натуральное. К ним относятся целые числа и дроби, например 7 = 7/1, −2 = −2/1 и 3/5. Такое представление удобно для записи частей целого и результатов деления.

Положительные числа — числа больше нуля, а отрицательные — числа меньше нуля. Числа 6 и ½ положительные, а −6 и −½ отрицательные. Нуль не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам.

Как это устроено

При счёте предметов достаточно натуральных чисел: одной книге соответствует 1, двум — 2, пяти — 5. Но если книг нет, понадобится отдельная запись отсутствия — 0. Так нуль стал числом, которое показывает пустое количество, хотя сам счёт начинается с единицы.

Натуральных чисел недостаточно, когда нужно разделить целое на части. Например, один пирог, разделённый на два равных куска, задаёт долю ½, а результат деления 3 на 4 записывается как ¾. Дробные числа расширяют набор чисел и позволяют точно описывать такие значения.

Иногда значение бывает меньше нуля: температура −5 °C ниже нулевой отметки, а долг можно обозначить отрицательным числом. Для каждого положительного числа существует противоположное ему отрицательное: у 7 это −7. Эти числа находятся на одинаковом расстоянии от нуля, но по разные стороны от него.

Числовые группы связаны вложенностью. Каждое натуральное число является целым, потому что целые включают натуральные, а каждое целое является рациональным: его можно записать дробью со знаменателем 1. Поэтому натуральные числа входят в целые, а целые — в рациональные.

Вид числа определяют по его записи и сравнению с нулём. Если число записано без дробной части и не имеет знака «минус», оно может быть натуральным, но нуль нужно исключить; отрицательное целое имеет знак «−». Дробная запись с целым числителем и натуральным знаменателем показывает, что число рациональное, а знак и положение относительно нуля определяют, положительное оно, отрицательное или нулевое.

Виды чисел и их примеры

Сначала определите, к какой основной группе относится число, а затем проверьте его знак. Помните: одно число может одновременно входить в несколько групп, например 5 — натуральное, целое, рациональное и положительное.

Разбор задач

Задача 1

Распределите числа 4, 0, −3, 1/2 по видам: натуральные, целые, рациональные. Нужно проверить каждое число по трём определениям, не относя нуль к натуральным.

1. Число 4 используют при счёте, значит, оно натуральное. Оно также целое и рациональное: 4 = 4/1.
2. Число 0 не натуральное, но целое. Оно рациональное, потому что 0 = 0/1.
3. Число −3 не натуральное, зато целое и рациональное: −3 = −3/1.
4. Число 1/2 не целое и не натуральное, но рациональное по самой записи.

Ответ: натуральные — 4; целые — 4, 0, −3; рациональные — 4, 0, −3, 1/2.

Задача 2

Запишите число, противоположное каждому из чисел 7, −5 и 0, и укажите, какие из полученных чисел положительные. Противоположное число имеет такой же модуль, но другой знак; у нуля противоположное число — сам нуль.

1. Для 7 меняем знак: получаем −7.
2. Для −5 убираем знак «минус»: получаем 5.
3. Для 0 смена знака ничего не меняет: получаем 0.
4. Сравниваем результаты с нулём: только 5 больше нуля.

Ответ: противоположные числа — −7, 5 и 0; положительным является 5.

Задача 3

Для чисел −2, 0, 3/4, 5 укажите все подходящие группы: натуральные, целые, рациональные, положительные, отрицательные. Для каждого числа сначала определим основную группу, затем его положение относительно нуля.

1. −2 — целое и рациональное число, а также отрицательное.
2. 0 — целое и рациональное число; положительным и отрицательным оно не является.
3. 3/4 — рациональное и положительное число.
4. 5 — натуральное, целое, рациональное и положительное число.

Ответ: −2 — целые, рациональные, отрицательные; 0 — целые, рациональные; 3/4 — рациональные, положительные; 5 — натуральные, целые, рациональные, положительные.

Типичные ошибки

Считать нуль натуральным. Так ошибаются, потому что 0 встречается перед 1 на числовом луче. Проверьте начало определения: в этой теме натуральные числа начинаются с единицы.

Путать целые и натуральные числа. Натуральные не содержат нуль и отрицательные числа, а целые содержат и то и другое. Для проверки найдите среди примеров группы число −1: оно целое, но не натуральное.

Считать отрицательное число нерациональным. Знак «минус» не мешает дробной записи: −3 = −3/1. Если числитель целый, а знаменатель натуральный, число рациональное.

Относить нуль к положительным или отрицательным. Положительное число больше нуля, отрицательное меньше нуля, а 0 равен нулю. Сравните число именно с нулём: равенство не подходит ни для одной из двух групп.

Связь с другими темами

До этой темы нужны представления о натуральных числах, обыкновенных дробях и координатном луче. Классификация чисел поможет сравнивать числа, выполнять действия с дробями и работать с отрицательными значениями. Идея расширения числовых множеств подготовит к изучению десятичных дробей и числовой прямой.

Что запомнить

• Натуральные числа используют при счёте.
• В принятом определении нуль не является натуральным числом.
• Целые числа включают натуральные числа, нуль и отрицательные числа.
• Рациональное число можно записать в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем.
• Нуль не является ни положительным, ни отрицательным числом.
• Каждое натуральное число является целым и рациональным.