12. Степень числа

Определения и обозначения

Степень числа — это запись произведения нескольких одинаковых множителей в виде aⁿ. Например, 4 · 4 · 4 можно записать как 4³. Такая запись помогает коротко показать повторное умножение и не перечислять длинный ряд одинаковых чисел.

Основание степени — число a в записи aⁿ, которое повторяется как множитель. В выражении 4³ основание равно 4, потому что именно четвёрки перемножаются. Найти основание нужно, чтобы понять, какое число следует повторять при раскрытии степени.

Показатель степени — число n в записи aⁿ, показывающее количество одинаковых множителей. В записи 4³ показатель равен 3, значит, множитель 4 берётся три раза. Он нужен, чтобы точно знать, сколько раз записать основание в произведении.

Квадрат числа — его вторая степень, а куб числа — третья степень. Их обозначают a² и a³ и читают «а в квадрате» и «а в кубе». Эти названия позволяют коротко говорить о произведении двух или трёх одинаковых чисел.

Как это устроено

Если в произведении несколько раз повторяется один и тот же множитель, его удобно заменить степенью. Например, 4 · 4 · 4 = 4³: число 4 записали один раз как основание, а число повторений указали показателем. Обратно степень раскрывают, записывая основание столько раз, сколько показывает показатель: 4³ = 4 · 4 · 4. Так короткая запись и подробное произведение обозначают одно и то же.

Основание записывают один раз, потому что оно не меняется, а показатель сообщает число его повторений. В выражении 2⁵ основание — 2, показатель — 5, поэтому запись раскрывается так: 2 · 2 · 2 · 2 · 2. Если бы показатель не указывал количество множителей, из короткой записи нельзя было бы понять, сколько раз повторять двойку. Поэтому каждое число в записи отвечает за свою часть произведения.

Квадрат числа связан с произведением двух одинаковых множителей: a² = a · a. Куб получается, если основание взять множителем три раза: a³ = a · a · a. Например, 5² означает 5 · 5, а 5³ — 5 · 5 · 5. Названия «квадрат» и «куб» помогают отличать эти часто встречающиеся степени.

Чтобы вычислить значение степени, сначала раскрой её в произведение, затем выполни умножение. Например, 3³ = 3 · 3 · 3 = 9 · 3 = 27. Показатель здесь равен 3, а значение степени — 27: это разные числа с разным смыслом. Такой порядок действий помогает не принять показатель за ответ.

Если основание равно 1, то при натуральном показателе произведение состоит из одинаковых единиц, а результат всегда равен 1: 1⁶ = 1. Если основание равно 0, произведение содержит нули и его значение равно 0: 0³ = 0. Это правило относится к степеням с натуральным показателем, то есть с показателем 1, 2, 3 и так далее. Проверить результат можно, раскрыв степень и посмотрев на повторяющиеся множители.

Степень как произведение одинаковых множителей

В таблице для каждой записи показаны её основание, показатель, произведение и значение степени. Сначала раскрой запись в произведение, а затем вычисли результат. Так можно проверить, что число множителей совпадает с показателем.

Разбор задач

Задача: записать произведение 6 · 6 · 6 · 6 в виде степени и назвать её основание и показатель. Сначала найдём, какое число повторяется, затем посчитаем количество его повторений. Это позволит не перепутать число-множитель с числом повторений.

1. Одинаковый множитель здесь — число 6, значит, оно будет основанием.
2. Четвёрка встречается в произведении четыре раза, поэтому показатель степени равен 4.
3. Записываем произведение как 6⁴ и указываем основание 6, показатель 4.

Ответ: 6⁴; основание — 6, показатель — 4. При проверке раскрой степень и убедись, что в произведении ровно четыре шестёрки. Это подтверждает, что запись соответствует условию.

Задача: вычислить 3⁴ и 2³. Для каждой степени сначала запишем произведение одинаковых множителей. Затем выполним умножение по порядку, не принимая показатель за результат.

1. Раскрываем первую степень: 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3.
2. Вычисляем: 3 · 3 = 9, 9 · 3 = 27, 27 · 3 = 81.
3. Раскрываем вторую степень: 2³ = 2 · 2 · 2 = 4 · 2 = 8.

Ответ: 3⁴ = 81, 2³ = 8. Числа 4 и 3 в этих записях показывают число множителей, а не ответы. Проверка через произведения помогает увидеть, откуда получились значения.

Задача: сравнить 2⁵ и 5², не перепутав основания и показатели. Одного взгляда на запись недостаточно: основание и показатель у степеней разные, поэтому нужно найти значения обеих степеней. После вычислений сравним получившиеся числа.

1. Раскрываем первую степень: 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.
2. Раскрываем вторую степень: 5² = 5 · 5 = 25.
3. Сравниваем значения: 32 больше 25, следовательно, 2⁵ > 5².

Ответ: 2⁵ > 5². В первой записи основание равно 2, а показатель — 5; во второй основание равно 5, а показатель — 2. Вычисление через произведения не даёт перепутать эти числа при сравнении.

Типичные ошибки

Ошибка — считать показатель значением степени, например утверждать, что значение 4³ равно 3. Так происходит, когда показатель принимают за ответ, хотя он только считает множители. Чтобы проверить себя, раскрой степень и вычисли произведение: 4 · 4 · 4 = 64.

Ошибка — умножать основание на показатель: например, считать 3⁴ равным 3 · 4. Показатель выглядит как небольшое число рядом с основанием, поэтому его можно ошибочно принять за второй множитель. Проверь запись по смыслу: 3⁴ означает четыре тройки, то есть 3 · 3 · 3 · 3.

Ошибка — путать основание и показатель, особенно в записи вроде 2⁵. Их места и значения легко переставить, если не вспомнить, за что отвечает каждое число. Назови числа вслух: основание 2 повторяется, показатель 5 считает повторы, а затем проверь это записью 2 · 2 · 2 · 2 · 2.

Ошибка — при раскрытии степени записать слишком мало или слишком много множителей. Иногда считают число оснований небрежно, особенно когда показатель больше 2. Чтобы проверить себя, пересчитай множители и сравни их количество с показателем: в 5⁴ должно быть ровно четыре пятёрки.

Связь с другими темами

Для работы со степенями нужно уметь умножать натуральные числа и понимать произведение как повторное умножение. Если это умение уже освоено, степень становится удобным способом кратко записать несколько одинаковых множителей. При вычислении значения степени снова применяется обычное умножение.

Степени пригодятся при вычислениях с большими числами и изучении порядка действий. Квадрат и куб связаны с геометрией: квадрат числа используют при записи площади квадрата, а куб — объёма куба. Поэтому понимание степени помогает видеть связь между вычислениями и геометрическими величинами.

Что запомнить

• Степень — краткая запись произведения одинаковых множителей.
• В записи aⁿ число a — основание степени.
• В записи aⁿ число n — показатель степени.
• Показатель показывает количество множителей, равных основанию.
• Квадрат числа — его вторая степень: a² = a · a.
• Куб числа — его третья степень: a³ = a · a · a.