"Математика", Чекин А.Л.
Деление помогает найти число, которое при умножении на делитель даёт делимое. Поэтому проверить частное можно обратным действием. Если делитель равен нулю, такого единственного частного не существует: при делении ненулевого числа не подходит ни одно число, а в примере 0 : 0 подходят все числа. Зато ноль можно делить на любое ненулевое число — частное будет равно нулю. Разобравшись в этой разнице, ты сможешь правильно вычислять выражения, решать уравнения и проверять, допустимы ли дроби.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление — действие, обратное умножению. Частное a : b — число, которое при умножении на b даёт a. Например, если 12 : 3 = 4, то проверка показывает: 3 · 4 = 12. Такая связь помогает находить частное и проверять ответ.
Делимое — число, которое делят; в записи a : b это число a. Например, в записи 12 : 3 делимое равно 12. Оно показывает, какое число нужно получить умножением делителя на частное.
Делитель — число, на которое делят; в записи a : b это число b. В примере 12 : 3 делитель равен 3. Проверка деления устроена так: делитель умножают на частное и сравнивают результат с делимым.
Деление на ноль — действие a : 0, результат которого не определён. Это означает, что такому выражению нельзя приписать частное по правилам деления. Чтобы понять причину, достаточно попробовать восстановить частное обратным умножением.
Чтобы найти a : b, нужно найти число q, для которого b · q = a. Такое равенство превращает деление в задачу на умножение: неизвестно частное, а остальные числа известны. Например, вместо вычисления 15 : 3 можно спросить, какое число при умножении на 3 даёт 15. Ответ 5, потому что 3 · 5 = 15.
Теперь пусть b = 0, а a ≠ 0. Если бы частное существовало, нашлось бы число q, для которого 0 · q = a. Но ноль при умножении на любое число остаётся нулём. Значит, ненулевое a получить нельзя, и деления a : 0 с таким результатом не существует.
Отдельно проверим случай 0 : 0. Здесь для частного q требуется равенство 0 · q = 0. Оно верно при любом q: например, и при q = 1, и при q = 7. Частное должно быть одним определённым числом, а здесь выбрать его невозможно, поэтому результат не определён.
Нельзя путать деление на ноль с делением нуля на ненулевое число. В записи 0 : b, где b ≠ 0, нужно найти q, для которого b · q = 0. Число q = 0 подходит, так как b · 0 = 0, и это единственное подходящее число: произведение ненулевого b на любое ненулевое q не равно нулю.
Итак, делить на ноль нельзя: выражение a : 0 не имеет значения при любом a. Когда a ≠ 0, нужного частного нет, а при a = 0 возможных частных слишком много. Поэтому перед вычислением деления нужно убедиться, что делитель не равен нулю.
| Запись | Результат | Почему |
|---|---|---|
| a : b, где b ≠ 0 | Определено | Можно найти единственное q, для которого b · q = a |
| 0 : b, где b ≠ 0 | 0 | b · 0 = 0 |
| a : 0, где a ≠ 0 | Не определено | 0 · q не может быть равно ненулевому a |
| 0 : 0 | Не определено | Равенству 0 · q = 0 соответствует любое q, а не единственное |
| a : 0, где a — любое число | Не определено | Делитель равен нулю |
Пользуйся таблицей, сначала проверяя делитель: если он равен нулю, частное не определено. Если делимое равно нулю, а делитель — нет, результат сразу равен нулю. В остальных случаях проверяй частное умножением делителя на найденный ответ.
Здесь делитель равен 5, то есть не равен нулю, поэтому деление допустимо. Вместо того чтобы угадывать ответ, найдём число q из равенства 5 · q = 0. Проверим ноль: 5 · 0 = 0, значит, он подходит. Так как умножение на 5 не превращает ненулевое число в ноль, другого ответа нет.
Ответ: 0.
Предположим, что частное существует и равно q. Тогда по связи деления с умножением должно выполняться 0 · q = 12. Но при любом выборе q левая часть равна нулю, а правая равна 12. Равенство невозможно, поэтому подобрать частное нельзя.
Ответ: нет, частное 12 : 0 не определено.
Если бы 0 : 0 было равно q, то проверка дала бы 0 · q = 0. Это равенство верно не только для одного числа, но и для любого числа q. Поэтому проверка не позволяет выделить единственное частное. Значит, результат нельзя определить однозначно, хотя для любого предполагаемого ответа равенство при умножении окажется верным.
Ответ: 0 : 0 не определено.
Ошибка: считать, что 0 : a не определено при любом a. Так происходит, когда путают ноль в делимом с нулём в делителе. При a ≠ 0 частное 0 : a равно нулю, потому что a · 0 = 0. Проверь, на каком месте стоит ноль, и умножь предполагаемый ответ на делитель.
Ошибка: принимать 0 : 0 за 0. Ноль действительно подходит для равенства 0 · q = 0, но подходят также 1, 2 и любые другие числа. Значит, ответ нельзя выбрать однозначно. Проверяй не только, подходит ли число, но и является ли оно единственным.
Ошибка: считать, что a : 0 равно бесконечности. Такое предположение не проходит проверку: ноль, умноженный на любое число, даёт ноль, а не ненулевое a. Не заменяй отсутствие частного особым числом — при делении на ноль результат не определён.
Ошибка: сокращать дробь или выражение, не проверив знаменатель. Сокращение может убрать множитель из записи, но не делает допустимым значение переменной, при котором первоначальный знаменатель равнялся нулю. Перед преобразованиями укажи, при каких значениях знаменатель не равен нулю. Затем сохраняй это ограничение и в сокращённой записи.
Для понимания темы нужны таблица умножения и связь деления с обратным умножением. Именно умножение позволяет не просто запомнить запрет, а проверить, существует ли частное. Если сомневаешься в ответе, вернись от деления к равенству с умножением.
Понятие частного пригодится при решении уравнений и проверке деления умножением. Например, можно заменить вопрос о частном вопросом о числе, которое нужно поставить в произведение. Такой способ помогает заметить, когда уравнение не имеет решения или не позволяет выбрать единственный ответ.
Запрет деления на ноль важен при работе с дробями и выражениями с переменными в знаменателе. Если знаменатель зависит от переменной, нужно найти значения, при которых он обращается в ноль, и исключить их. Сокращение выражения не отменяет это ограничение.
Почему делить на ноль нельзя?
Деление проверяют обратным умножением: для частного q должно выполняться b · q = a. Если делитель b равен нулю, произведение 0 · q всегда равно нулю, поэтому для ненулевого делимого решения нет, а для нуля оно не единственное.
Почему ноль можно делить на любое ненулевое число?
Чтобы найти 0 : b, нужно подобрать число q, для которого b · q = 0. Если b не равно нулю, подходит q = 0, и никакое другое число не даст ноль при умножении на b.
Чему равно 0 : 0?
Выражение 0 : 0 не имеет определённого значения. Уравнению 0 · q = 0 подходят любые q, поэтому выбрать единственное частное невозможно.
Можно ли считать результат деления на ноль бесконечностью?
Нет, деление на ноль не равно бесконечности. Ноль, умноженный на любое число, в том числе очень большое, даёт ноль, а не делимое, отличное от нуля.
Почему нельзя сокращать выражение, если после сокращения знаменатель может быть равен нулю?
Сокращать можно только при условии, что сокращаемый множитель не равен нулю. Если при каком-то значении переменной знаменатель исходного выражения обращается в ноль, это значение недопустимо и после сокращения не становится допустимым.
Делить на 0 нельзя
