"Математика", Чекин А.Л.
Деление суммы на число помогает считать удобнее: вместо того чтобы сначала складывать числа, можно разделить на один и тот же делитель каждое слагаемое, а затем сложить частные. Например, 24 : 3 можно заменить на 18 : 3 + 6 : 3. Такой способ подходит, если каждое слагаемое делится на делитель без остатка. Он полезен в устных вычислениях и задачах, где предметы разных видов распределяют поровну между несколькими группами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма — результат сложения двух или нескольких слагаемых. В выражении (a + b) : c делится именно вся сумма a + b, потому что скобки объединяют слагаемые. Это помогает отличать деление суммы от деления только одного числа в выражении. Сумму можно сначала вычислить, а затем разделить.
Деление суммы на число — действие, при котором сумму делят на делитель целиком или делят на него каждое слагаемое отдельно. Во втором случае результаты деления складывают. Такой способ нужен, когда слагаемые легко разделить поровну и не хочется сначала находить сумму. Оба способа дают один результат при выполнении условия правила.
Слагаемые суммы — числа, которые складывают, например 18 и 6 в записи 18 + 6. При делении суммы по частям каждое слагаемое делят на один и тот же делитель. Нельзя разделить одно слагаемое на 3, а другое — на 2: тогда получатся части разного размера. Одинаковый делитель соответствует одинаковому числу частей.
Частное — результат деления, например 18 : 3 = 6, где 6 — частное. Если делили сумму по слагаемым, частные от каждого слагаемого складывают. Так сохраняется общее количество: доли, полученные из разных слагаемых, вместе составляют долю всей суммы. Это объясняет, почему знак между частными — плюс.
Представь, что 18 красных и 6 синих фишек нужно поровну разложить в 3 коробки. Сначала красные фишки можно распределить по коробкам: в каждую попадёт 18 : 3 = 6 фишек. Затем так же распределяют синие: в каждой коробке будет 6 : 3 = 2 фишки. Значит, всего в каждой коробке окажется 6 + 2 = 8 фишек; общий результат совпадает с распределением всех 24 фишек сразу.
Из этого примера получается правило: (a + b) : c = a : c + b : c, если каждое слагаемое делится на c без остатка. Буквы обозначают числа, а c — один и тот же делитель для обоих слагаемых. Условие нужно потому, что правило в такой форме описывает целые равные доли каждого слагаемого. Для суммы из нескольких слагаемых действуют так же: делят каждое на c и складывают полученные частные.
Почему равенство верно? Если каждое из двух слагаемых разделить на c, то вместе получатся все доли от первой и второй части суммы. При сложении эти доли собираются в одну общую часть. Именно такую часть и получаем, когда делим всю сумму a + b на c сразу. Например, (18 + 6) : 3 = 24 : 3 = 8, а 18 : 3 + 6 : 3 = 6 + 2 = 8.
Можно сначала сложить числа, а затем разделить сумму: (36 + 24) : 6 = 60 : 6 = 10. Можно разделить каждое слагаемое и сложить результаты: 36 : 6 + 24 : 6 = 6 + 4 = 10. Результат одинаковый, потому что в обоих случаях делится одно и то же общее количество на одинаковое число частей. Выбор способа зависит от чисел: если сумма легко находится, удобно считать её, а если слагаемые легко делятся, можно считать по частям.
| Способ | Запись | Когда удобно применять |
|---|---|---|
| Сначала сложить слагаемые, затем разделить сумму | (a + b) : c = (a + b) : c | Когда сумму легко найти и удобно разделить целиком |
| Разделить каждое слагаемое на число, затем сложить частные | (a + b) : c = a : c + b : c | Когда каждое слагаемое легко делится на c |
| Условие применения деления суммы по слагаемым | a : c и b : c должны делиться без остатка | Когда нужно получить целые частные от каждого слагаемого |
| Проверка результата обратным действием | частное · c = делимое | После вычисления, чтобы убедиться в ответе |
Сначала посмотри, какой способ приводит к более простым вычислениям, и проверь, делятся ли слагаемые на выбранный делитель. Если выбираешь вычисление по частям, делитель у всех слагаемых должен быть одним и тем же. После вычисления можно умножить ответ на делитель и сравнить с исходным числом.
Делить 24 можно прямо, но здесь предложено разложение 18 + 6. Оно удобно, потому что оба слагаемых делятся на 3 без остатка. Поэтому применим деление суммы по слагаемым и сложим полученные частные.
Запишем число как сумму: 24 = 18 + 6. Значит, 24 : 3 = (18 + 6) : 3. Скобки показывают, что делится вся сумма.
Разделим каждое слагаемое на 3: 18 : 3 = 6, а 6 : 3 = 2. Оба частных целые, значит, условие применения правила выполнено.
Сложим частные: 6 + 2 = 8. Проверка: 8 · 3 = 24, то есть при умножении на делитель мы вернулись к исходному числу.
Ответ: 8.
В этом выражении можно сначала найти сумму 36 + 24, а можно разделить оба слагаемых на 6. Второй способ удобен, поскольку и 36, и 24 делятся на 6 без остатка. Сравним оба вычисления, чтобы убедиться, что результат не зависит от выбора способа.
Вычислим через сумму: 36 + 24 = 60, затем 60 : 6 = 10. В этом способе сначала объединяем все слагаемые и только потом делим.
Вычислим по частям: (36 + 24) : 6 = 36 : 6 + 24 : 6. Получаем 6 + 4 = 10, потому что 36 : 6 = 6, а 24 : 6 = 4.
Сравним ответы: в обоих случаях вышло 10. Проверка обратным действием: 10 · 6 = 60, а 60 — исходная сумма 36 + 24.
Ответ: 10.
В библиотеку привезли 48 учебников и 36 книг для чтения. Все книги поровну разместили на 6 стеллажах; нужно узнать, сколько книг каждого вида будет на одном стеллаже и сколько книг там всего. Поскольку книги разных видов составляют два слагаемых общего количества, удобно распределить каждое из них отдельно. Делитель 6 означает, что каждое количество делят между шестью стеллажами.
Найдём число учебников на одном стеллаже: 48 : 6 = 8. Каждый стеллаж получит одинаковое количество учебников.
Найдём число книг для чтения на одном стеллаже: 36 : 6 = 6. Это распределение также поровну, поэтому на каждом стеллаже будет по 6 таких книг.
Сложим результаты: 8 + 6 = 14 книг на одном стеллаже. Всего привезли 48 + 36 = 84 книги, и проверка даёт 84 : 6 = 14.
Ответ: на одном стеллаже 8 учебников и 6 книг для чтения, всего 14 книг.
Ошибка: разделить на число только одно слагаемое, например записать (18 + 6) : 3 как 18 : 3 + 6. Так делают, когда по невнимательности переносят деление лишь на ближайшее число. Проверь, что знак деления применён к каждому слагаемому и делитель везде одинаковый. Правильная запись: 18 : 3 + 6 : 3.
Ошибка: складывать частные, не проверив делимость каждого слагаемого на делитель. Иногда кажется, что достаточно разделить сумму в целом, но правило по частям требует, чтобы каждое слагаемое делилось нацело. Проверь каждое деление отдельно; если оно даёт остаток, выбери другое разложение или сначала найди сумму. Например, 10 + 8 нельзя разделить по слагаемым на 3 без остатка.
Ошибка: записать (a + b) : c как a + b : c. Без скобок сначала выполняется деление, поэтому эта запись означает другое действие: к a прибавляют частное b : c. Ошибка возникает, если забыть, что делится вся сумма. Проверь, охватывают ли скобки все слагаемые; для деления суммы они нужны.
Ошибка: разделить каждое слагаемое, а потом перемножить частные. Например, после вычислений 18 : 3 = 6 и 6 : 3 = 2 нужно получить 6 + 2, а не 6 · 2. При распределении обе части количества оказываются в каждой группе, поэтому их складывают. Проверь знак: частные от слагаемых соединяются плюсом.
Для деления суммы по частям нужно уметь делить натуральные числа и складывать результаты. Если эти действия выполняются уверенно, можно быстро заметить, какие слагаемые удобно выбрать. При необходимости сначала проверь делимость каждого числа на общий делитель. Это поможет не получить остаток там, где правило требует целых частных.
Знание порядка действий и роли скобок помогает правильно прочитать запись. В выражении (a + b) : c сначала рассматривают сумму в скобках, а затем делят её на c. Если скобки убрать, смысл выражения изменится: сначала выполнят деление b : c, а потом прибавят a. Поэтому скобки здесь показывают, что делится вся сумма.
Правило пригодится при устных вычислениях и в текстовых задачах на равное распределение. Если делят поровну предметы разных видов, количество каждого вида делят на число групп, а затем складывают результаты. Так проще найти, сколько предметов окажется в одной группе, и не потерять ни одну часть общего количества.
Можно ли всегда делить сумму по слагаемым?
Сумму можно разделить по слагаемым, если каждое слагаемое делится на данный делитель без остатка. Если это условие не выполнено, сначала раздели всю сумму или выбери другое разложение.
Почему нужно делить каждое слагаемое?
Вся сумма распределяется между одинаковым числом частей. Поэтому долю от каждого слагаемого нужно определить для каждой части, а затем сложить эти доли.
Что делать, если одно из слагаемых не делится на делитель?
Проверь, можно ли разложить сумму на другие слагаемые, которые делятся на делитель. Если удобного разложения нет, сначала найди сумму и раздели её целиком.
Как выбрать, на какие слагаемые разложить число?
Выбирай такие слагаемые, которые вместе дают исходное число и делятся на нужный делитель без остатка. Например, 24 удобно представить как 18 + 6 при делении на 3.
Как проверить результат деления суммы?
Умножь полученное частное на делитель: должно получиться исходное делимое. Если делил сумму по частям, можно также сложить частные ещё раз и проверить их сумму умножением.
Деление суммы на число
