"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Деление суммы на число позволяет вычислить частное, разделив на это число каждое слагаемое, а затем сложив полученные частные. Такой приём удобен, когда сумму можно разложить на простые числа, которые делятся на делитель без остатка. Например, 84 : 4 можно заменить на 80 : 4 + 4 : 4. Главное — проверить, что делится каждое слагаемое, не пропустить ни одно из них и сложить частные.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление суммы на число — это деление суммы, рассматриваемой как одно целое делимое, на заданное число. Например, в записи (a + b) : c делимым служит вся сумма a + b, а делителем — число c. Скобки показывают, что сначала рассматривается сумма. Это помогает не перепутать, какое именно число делят.
Свойство деления суммы на число говорит: сумму можно разделить на число по слагаемым, если каждое слагаемое делится на это число. Тогда (a + b) : c = a : c + b : c. Это свойство превращает одно сложное деление в несколько более простых. Оно особенно полезно, когда слагаемые подобраны так, что частные легко найти.
Частное суммы и числа равно сумме частных слагаемых и этого числа, если каждое из таких делений выполняется без остатка. Иначе говоря, результат деления всей суммы можно получить, разделив её части и сложив ответы. В натуральных числах это условие важно: частные отдельных слагаемых должны быть натуральными числами. Проверка условия не даёт применить правило к неподходящему разложению.
Представь, что 24 одинаковых предмета нужно поровну разложить в 4 коробки. Можно взять все 24 предмета сразу, а можно сначала разделить 20 предметов, затем оставшиеся 4 и разложить обе части по тем же четырём коробкам. В первую часть каждой коробки попадёт 20 : 4 = 5 предметов, во вторую — 4 : 4 = 1. Значит, всего в каждой коробке будет 5 + 1 предмет, то есть 24 : 4 = 6.
Рассмотрим сумму a + b и разделим её на c. Если каждое слагаемое можно разделить на c без остатка, то по свойству деления суммы получаем (a + b) : c = a : c + b : c. В натуральных числах здесь c — натуральное число, отличное от нуля, а оба деления справа должны давать натуральные частные. Причина ограничения в том, что правило описывает разложение суммы на целые равные группы без остатка.
Способ не меняет результат, потому что делятся те же самые предметы и на то же число равных групп. Мы лишь распределяем работу: сначала разбираем одну часть суммы, затем другую. Когда складываем частные, получаем общее количество предметов в каждой группе. Поэтому сумма результатов отдельных делений совпадает с частным всей суммы.
Выбирай разложение так, чтобы слагаемые было просто делить. Например, 84 удобно представить как 80 + 4: оба числа делятся на 4. Тогда 84 : 4 = 80 : 4 + 4 : 4 = 20 + 1 = 21. Разложение 84 = 40 + 44 тоже подходит, но обычно первый вариант считать проще.
Не всякое разложение подходит для применения правила в натуральных числах. Например, 34 = 30 + 4 при делении на 4 даёт 30 : 4 и 4 : 4, но 30 на 4 нацело не делится. Нельзя записать оба частных как натуральные числа и просто сложить их, поэтому для такого разложения свойство в этой форме неприменимо. Подбери другую сумму, например 34 = 32 + 2 тоже не подходит, а значит, для натуральных частных нужно выбрать иной способ вычисления, например выполнить деление с остатком.
Таблица помогает проверить, подходит ли разложение, и не потерять шаги вычисления. Сначала найди делитель и проверь делимость каждого слагаемого, затем сложи частные. В последней строке используй обратное действие — умножение.
| Что рассматриваем | Запись или условие | Что сделать | Пример |
|---|---|---|---|
| Делимое — сумма | a + b | Рассматривать слагаемые как части одного делимого | 84 = 80 + 4 |
| Делитель | c, c ≠ 0 | Делить на него каждое слагаемое | Делитель — 4 |
| Условие применения свойства | a и b делятся на c без остатка | Проверить оба слагаемых | 80 и 4 делятся на 4 |
| Разложение суммы на слагаемые | a + b | Выбрать удобные слагаемые | 84 = 80 + 4 |
| Запись частного через частные слагаемых | (a + b) : c = a : c + b : c | Найти и сложить частные | 20 + 1 = 21 |
| Проверка результата | Частное × делитель = делимое | Умножить ответ на делитель | 21 × 4 = 84 |
Задача: вычислите 36 : 4, представив 36 как сумму двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. Нужно не просто подобрать сумму, но и проверить делимость обеих частей. Удобно выделить круглое число 20, а оставшуюся часть записать как 16. Оба слагаемых делятся на 4 без остатка.
Ответ: 9.
Задача: вычислите 156 : 6, разложив 156 на удобные слагаемые. Здесь подойдут 120 и 36: первое число легко делится на 6, а частное второго тоже просто найти. Такой выбор превращает деление трёхзначного числа в два более простых вычисления. После этого останется сложить результаты.
Ответ: 26.
Задача: для школьной ярмарки приготовили 248 карандашей и 112 ручек. Всё поровну распределили между 8 классами. Нужно найти общее число предметов на один класс: сначала объединить предметы, а затем разделить сумму на число классов. Оба количества делятся на 8, поэтому можно считать их частные отдельно.
Ответ: каждый класс получил 45 предметов.
Первая ошибка — делить по слагаемым, хотя одно из них не делится нацело. Например, для 30 + 4 при делении на 4 число 30 не даёт натурального частного. Так ошибаются, проверяя делимость только суммы или вообще не проверяя её. Перед применением свойства проверь каждое слагаемое отдельно.
Вторая ошибка — разделить только одно слагаемое и забыть про другое. Тогда в ответ попадает лишь часть делимого, поэтому частное обычно оказывается слишком маленьким. Такое бывает, если вычисление записывают в несколько действий и теряют слагаемое. Сверь исходную сумму с тем, что ты разделил: должны быть учтены все её части.
Третья ошибка — найти частные слагаемых, но не сложить их. Например, после вычислений 20 : 4 = 5 и 16 : 4 = 4 ответом будет не только 5 или 4, а сумма 5 + 4. Ошибка возникает, когда останавливаются на промежуточном результате. Проверь, что последним действием стало сложение всех полученных частных.
Четвёртая ошибка — перепутать деление суммы на число с делением числа на сумму. В записи (a + b) : c делится сумма, а c является делителем; запись c : (a + b) означает уже другое действие. Путаница меняет местами делимое и делитель. Перед вычислением прочитай выражение слева направо и проверь ответ умножением на исходный делитель.
Чтобы применять это свойство, нужно уметь делить натуральные числа, складывать их и представлять число в виде суммы. Если эти действия знакомы, остаётся подобрать слагаемые, которые делятся на нужное число. Навык разложения помогает сделать вычисление короче и удобнее.
Деление суммы на число пригодится при устных и письменных вычислениях, когда делимое удобно разбить на части. Оно также помогает решать текстовые задачи на равное распределение: сначала можно разделить между получателями разные количества предметов, а затем сложить результаты. Так вычисление связывает свойство действий с практической ситуацией.
Когда можно делить сумму по слагаемым?
Когда каждое слагаемое делится на одно и то же число без остатка. Тогда частное всей суммы равно сумме частных слагаемых.
Почему результат не меняется, если делить каждое слагаемое отдельно?
Потому что сумма состоит из отдельных слагаемых, и каждое из них можно разделить на одинаковое число частей. Если разделить их по отдельности, а затем сложить результаты, получится столько же, сколько при делении всей суммы.
Что делать, если одно из слагаемых не делится на число?
В натуральных числах нельзя автоматически применять правило к такому разложению: частное этого слагаемого не будет натуральным числом. Выбери другое разложение, в котором каждое слагаемое делится на делитель, или вычисли деление другим способом.
Как выбрать удобное разложение суммы?
Подбери такие слагаемые, которые легко делятся на нужное число. Например, 84 удобно представить как 80 + 4 при делении на 4, потому что оба слагаемых делятся на 4.
Как проверить результат деления суммы на число?
Умножь полученное частное на делитель. Если вышло исходное делимое, вычисление верно.
Деление суммы на число
