"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Числа помогают считать, измерять, сравнивать величины и описывать результаты вычислений. Их объединяют в множества: натуральные, целые, рациональные, иррациональные и действительные. Для каждого множества существуют свои обозначения и способы записи. Главные навыки темы — сравнивать числа на координатной прямой, переходить от дробей к десятичным записям, выбирать порядок действий и применять свойства сложения и умножения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральное число — число, которое используют при счёте: 1, 2, 3 и так далее. Вопрос о включении нуля зависит от принятого определения: часто натуральными считают числа от 1, а иногда — от 0. Множество натуральных чисел обозначают ℕ; оно нужно для счёта предметов и указания их количества.
Целое число — это натуральное число, ноль или число, противоположное натуральному: например, −5 противоположно 5. Множество целых чисел обозначают ℤ и записывают как …, −2, −1, 0, 1, 2, …. Целые числа позволяют выполнять вычитание, когда результат меньше нуля.
Рациональное число — число вида m/n, где m — целое число, а n ≠ 0. К рациональным относятся целые числа, обыкновенные дроби, конечные и бесконечные периодические десятичные дроби. Это множество обозначают ℚ; оно удобно для записи частей величины и результатов деления.
Иррациональное число нельзя представить дробью m/n с целым числителем и ненулевым знаменателем, например √2. Действительные числа объединяют рациональные и иррациональные числа. Они образуют все числа, которые можно отметить точками на координатной прямой.
Числовые множества расширяются потому, что прежних чисел не хватает для новых действий. Натуральных чисел недостаточно для вычитания, например 3 − 8 не является натуральным числом, поэтому вводят отрицательные числа и получают целые. Целых чисел недостаточно для деления, ведь 1 : 2 не является целым, поэтому нужны рациональные числа. Наконец, некоторые корни, например √2, не записываются обычной дробью, и появляются иррациональные числа.
Сравнивать числа удобно на координатной прямой: каждое число отмечают точкой, а направление вправо считают направлением увеличения. Поэтому число, расположенное правее, больше числа слева. Модуль |a| показывает расстояние от числа a до нуля, поэтому |−6| = 6 и |6| = 6. У отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше.
Одна величина может иметь разные записи. Например, 2,75 = 275/100 = 11/4 = 2 3/4 = 275%, если последняя запись означает ту же величину в процентах от единицы. При переходе между формами нужно сохранять значение: десятичную дробь переводят в обыкновенную, смешанное число — в неправильную дробь, а процент делят на 100.
Действие выбирают по смыслу задачи: сложение объединяет величины, вычитание находит разность, умножение повторяет сложение или изменяет величину в несколько раз, а деление помогает узнать долю или количество равных частей. В выражении сначала считают в скобках, затем степени, после этого умножение и деление, а в конце сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо.
Свойства сложения и умножения помогают менять удобный порядок вычислений. Переместительное свойство даёт a + b = b + a и ab = ba, а сочетательное — (a + b) + c = a + (b + c) и (ab)c = a(bc). Распределительное свойство связывает умножение со сложением и вычитанием: a(b + c) = ab + ac и a(b − c) = ab − ac, поэтому скобки можно раскрывать или выносить общий множитель.
| Множество | Обозначение | Какие числа входят | Примеры | Особенности записи |
|---|---|---|---|---|
| Натуральные числа | ℕ | Числа для счёта | 1, 2, 15 | Нужно уточнять, входит ли 0 |
| Целые числа | ℤ | Натуральные, 0 и противоположные им | −4, 0, 9 | Десятичная запись без дробной части |
| Рациональные числа | ℚ | Все числа m/n, m ∈ ℤ, n ≠ 0 | ½, −3, 0,75 | Десятичная запись конечная или периодическая |
| Иррациональные числа | — | Числа, не представимые дробью m/n | √2, π | Бесконечная непериодическая запись |
| Действительные числа | ℝ | Рациональные и иррациональные числа | −2, ⅓, √5 | Можно отметить на координатной прямой |
| Конечные и периодические десятичные дроби | — | Рациональные числа | 0,4; 0,333… | У периодической записи повторяется блок цифр |
| Отрицательные числа и их модули | — | Числа меньше нуля и расстояния до нуля | −7, |−7| = 7 | Модуль не бывает отрицательным |
Таблица помогает определить, к какому множеству относится число, и выбрать подходящую запись. Сначала найдите форму числа, затем проверьте знак, наличие периода и возможность представить его дробью. Множества вложены друг в друга: ℕ входит в ℤ, ℤ — в ℚ, а ℚ — в ℝ.
В выражении есть сложение отрицательного и положительного чисел, а затем вычитание. Удобно рассматривать вычитание как прибавление противоположного числа: −18 + 25 + (−7). Так знаки всех слагаемых видны и меньше риск потерять минус.
Ответ: 0. На координатной прямой движение на 18 единиц влево, затем на 25 вправо и на 7 влево возвращает в начало отсчёта.
Чтобы сложить числа без путаницы, переведём их в обыкновенные дроби. В десятичной записи 2,75 две цифры после запятой, поэтому знаменатель сначала равен 100. Затем дробь можно сократить и привести слагаемые к общему знаменателю.
Ответ: 2,75 = 11/4, а сумма равна 4. Проверка десятичными дробями даёт 2,75 + 1,25 = 4.
Сначала выполняем действие в первых скобках, затем деление, после этого корень и вычитание. Для дробей нужен общий знаменатель, а деление на дробь заменяется умножением на обратную. Десятичную дробь 0,2 удобно представить как 1/5.
Ответ: 4,05. Знаки проверены отдельно: частное двух отрицательных чисел положительно.
Считать ноль натуральным числом без уточнения определения. Ошибка возникает из-за разных соглашений в математике и учебниках. Проверьте, с какого числа начинается ряд ℕ в условии или принятом курсе.
Терять минус при раскрытии скобок или складывать модули отрицательных чисел вместо самих чисел. Так происходит, когда знак считают частью «оформления», а не характеристикой числа. После вычисления сравните знак результата и проверьте его на координатной прямой.
Складывать или вычитать дроби по отдельности в числителях и знаменателях. Например, 1/2 + 1/3 не равно 2/5, потому что части имеют разные размеры. Приведите дроби к общему знаменателю и изменяйте только числители.
Выполнять действия строго слева направо и нарушать порядок действий. Это меняет само выражение: умножение не всегда выполняется после сложения. Отметьте скобки, степени и действия каждого уровня до начала вычислений.
До этой темы нужны представления о величинах, долях, дробях, координатной прямой и таблице умножения. Без них трудно понимать смысл чисел и выполнять преобразования.
Знания о числах понадобятся при изучении уравнений, неравенств, процентов, степеней, корней и функций. Эти понятия используют одни и те же правила сравнения и вычислений.
Навыки вычислений применяются в текстовых задачах, преобразовании формул и работе с приближёнными значениями. Они помогают оценивать ответ, округлять его и обнаруживать ошибки.
Считается ли ноль натуральным числом?
Это зависит от принятого определения. В школьной математике часто считают натуральными числа 1, 2, 3, …, а ноль относят к целым числам; иногда натуральный ряд начинают с нуля.
Чем рациональное число отличается от иррационального?
Рациональное число можно представить дробью m/n, где m — целое число, а n ≠ 0. Иррациональное число нельзя записать такой дробью; его десятичная запись бесконечна и непериодична.
Как сравнить два отрицательных числа?
На координатной прямой больше то отрицательное число, которое расположено правее. Поэтому из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше: −3 > −7.
Почему при делении дробей вторую дробь переворачивают?
Деление на дробь заменяют умножением на обратное число. У дроби m/n обратной является n/m, если обе части имеют смысл, поэтому вторую дробь заменяют перевёрнутой.
Как не ошибиться в порядке действий?
Сначала выполняйте действия в скобках, затем степени, после этого умножение и деление слева направо, а затем сложение и вычитание слева направо. Полезно заранее отметить порядок действий и записывать каждый промежуточный результат.
Числа и вычисления
