"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Задачи о библиотеке помогают разобраться, как части связаны с целым. Если известно общее число книг, можно найти количество книг определённого вида, умножив целое на соответствующую долю или процент. Если известна часть, а требуется узнать общее количество, нужно разделить её значение на долю. Главное — правильно определить, что в условии является целым, и проверить, что найденные части согласуются между собой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Доля числа — часть целого, которую находят делением числа на равные части. Например, если 240 книг разделить на четыре равные группы, в каждой будет 240 : 4 = 60 книг, то есть четверть от общего числа. Доля нужна, чтобы описывать, какую часть собрания составляют книги определённого вида. Слово «четверть» означает одну из четырёх равных частей и записывается как ¼.
Дробь от числа — результат умножения числа на дробь. В записи 240 · ¾ дробь ¾ означает, что целое разделили на четыре равные части и взяли три такие части. Сначала можно найти одну часть: 240 : 4 = 60, затем умножить её на числитель: 60 · 3 = 180. Такой способ помогает узнать количество книг, если о нём сказано, например, что оно составляет три четверти всего собрания.
Процент — одна сотая часть числа, поэтому 1% = 1/100, а 30% = 30/100 = 0,3. Обыкновенная дробь 35/100 и десятичная дробь 0,35 обозначают одно и то же число, что и 35%. Процент удобно использовать, когда часть сравнивают со всем количеством, принятым за 100%. Чтобы найти процент от числа, его переводят в дробь со знаменателем 100 или в десятичную дробь и умножают на целое.
В условии задачи сначала нужно различить целое и его части. Целое — это общее количество книг, о котором идёт речь, а часть — книги определённого вида или для определённой группы читателей. Одно и то же число может быть целым в одной задаче и частью в другой: 180 книг могут быть всеми книгами для младших школьников, но лишь частью всех детских книг. Поэтому полезно спросить себя: «От какого общего количества взяты эти книги?»
Если известно целое и требуется узнать часть, используют умножение на долю. Причина в том, что доля показывает, какую часть целого нужно взять: например, ¼ означает одну из четырёх равных частей, а 30% — тридцать из ста таких частей. Умножение на дробь можно выполнить как деление на знаменатель с последующим умножением на числитель. Для процентов сначала записывают долю: 30% = 30/100 = 0,3, а затем умножают целое на 0,3.
Иногда известна часть, но неизвестно целое, от которого она была взята. Тогда нужно восстановить целое делением значения части на её долю: если 180 книг составляют 30%, то 180 — это 0,3 от целого, и целое равно 180 : 0,3. Деление отвечает на вопрос, сколько таких долей помещается в известной части целого. Нельзя просто умножить 180 на 30: число 30 обозначает проценты, а не количество целых собраний.
После вычислений полезно проверить, согласуются ли числа с условием. Если перечислены все виды книг, их количества должны в сумме составить общее число; если названы только некоторые виды, сумма этих частей не должна превысить целое. Обратное действие помогает проверить результат: можно вычислить процент найденного целого или умножить его на данную дробь. Проверка смысла тоже важна: количество книг должно быть неотрицательным и не больше общего количества.
| Что известно | Что требуется найти | Действие | Проверка |
|---|---|---|---|
| Целое и доля | Часть целого | Умножить целое на долю | Разделить целое на знаменатель и умножить на числитель; результат не больше целого |
| Целое и количество равных частей | Значение одной части или нескольких частей | Разделить целое на число равных частей; для нескольких частей умножить результат на их количество | Сложить одинаковые части и сравнить с целым |
| Доля и её числовое значение | Целое | Разделить значение части на долю, записанную дробью или десятичным числом | Найти эту долю от полученного целого |
| Несколько частей целого | Оставшуюся часть | Вычесть сумму известных частей из целого | Сложить известные и оставшуюся части |
Сначала выбери строку, соответствующую тому, что дано в задаче, а затем посмотри, какое действие приведёт к искомому. Для процентов перед вычислением запиши долю: например, 20% = 0,2. В последнем столбце указана проверка, которая помогает заметить ошибку ещё до записи ответа.
В библиотеке 240 книг. Четверть из них — справочники. Нужно узнать число справочников. Четверть означает одну из четырёх равных частей, поэтому сначала разделим общее количество книг на 4. Полученное число и будет искомой частью.
Ответ: в библиотеке 60 справочников. Результат меньше общего числа книг, а четыре такие равные части дают целое. Значит, вычисление соответствует условию.
В библиотеке 180 книг для младших школьников, и это 30% всех книг для детей. Здесь 180 — не целое, а его часть: задача просит найти общее количество детских книг. Выразим проценты долей и разделим значение известной части на эту долю. Так мы узнаем, сколько книг составляют 100%.
Ответ: всего в библиотеке 600 детских книг. Делить нужно именно на 0,3, потому что 180 книг составляют эту долю от целого. Если бы мы умножили 180 на 0,3, получили бы часть от уже известной части, а не общее количество.
В библиотеке 600 книг. 35% составляют художественные книги, 20% — энциклопедии, остальные — книги других видов. Найдём каждую названную часть от одного и того же целого, а затем определим остаток. Важно не принимать проценты за количества книг: сначала применим их к числу 600.
Ответ: 210 художественных книг, 120 энциклопедий и 270 книг других видов. Проверка показывает, что все количества вместе составляют исходное собрание. Можно также проверить проценты: 35% + 20% = 55%, значит, остальным видам принадлежит 45% книг, а 600 · 0,45 = 270.
Для решения таких задач нужно уверенно выполнять действия с обыкновенными и десятичными дробями, а также понимать запись процентов. Эти умения помогают переводить условие в вычисления и выбирать между умножением и делением. Нахождение части целого встречается в задачах на проценты и пропорции, где сравнивают величины и устанавливают их связь. Оно также помогает анализировать данные: например, определять, какую долю от общего числа составляют отдельные группы.
Как понять, от какого числа нужно находить процент?
Найди в условии целое — общее количество, частью которого названы проценты. Например, в выражении «30% всех детских книг» процент относится ко всем детским книгам, а не к книгам отдельного вида. Полезно обозначить целое буквой или подчеркнуть соответствующие слова.
Почему для нахождения части умножают на дробь?
Дробь показывает, какую долю целого нужно взять. Умножение числа на дробь равносильно делению на её знаменатель и умножению на числитель, то есть помогает получить нужное количество равных частей. Например, ¼ от 240 — это 240 · ¼ = 60.
Как найти общее количество, если известна только его часть?
Нужно разделить значение известной части на её долю от целого. Если 180 книг составляют 30% от общего числа, то 30% = 0,3, а целое равно 180 : 0,3 = 600. Проверка: 30% от 600 действительно равны 180.
Как перевести процент в обыкновенную дробь?
Процент означает одну сотую, поэтому число процентов записывают в числителе, а в знаменателе ставят 100. Например, 35% = 35/100 = 7/20 после сокращения. Для вычислений можно также использовать десятичную дробь: 35% = 0,35.
Как проверить ответ в задаче о книгах?
Проверь вычисление обратным действием: найди указанную долю от полученного целого или раздели найденную часть на общее количество. Если части описывают всё собрание, их количества должны в сумме дать общее число книг. Также убедись, что ни одна часть не больше целого и что ответ подходит по смыслу.
В библиотеке
