"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Деление суммы на число позволяет заменить одно сложное действие несколькими простыми: разделить слагаемые и сложить полученные частные. Это удобно для устных вычислений и преобразования выражений. Правило работает без остатка, если каждое слагаемое делится на один и тот же ненулевой делитель. Если условие не выполняется, сумму сначала вычисляют целиком или представляют по-другому.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Деление суммы на число — действие, при котором всю сумму делят на выбранное число. Например, в выражении (18 + 12) : 6 сначала можно найти сумму 30, а затем разделить её на 6. Понимание этого действия помогает выбрать более удобный способ вычисления.
Распределительное свойство деления суммы на число утверждает: если каждое слагаемое делится на делитель, сумму можно разделить по слагаемым и сложить частные. Формула записывается так: (a + b) : c = a : c + b : c. Она нужна, чтобы заменять одно действие несколькими простыми действиями.
Частное суммы и числа — результат деления всей суммы на число. В записи (a + b) : c выражение a + b является делимым, c — делителем, а всё выражение целиком обозначает частное. Такая запись показывает, что сначала можно рассматривать сумму как единое число.
Делитель суммы — число, на которое делят сумму; в выражении (a + b) : c это число c. Делитель не может быть равен нулю, потому что деление на ноль не имеет смысла. Перед вычислением полезно определить делитель и проверить, делятся ли на него слагаемые.
Связь с обратным умножением объясняет, почему правило работает. Если a = c · m и b = c · n, то a + b = c · m + c · n. Вынеся общий множитель c, получаем a + b = c · (m + n), поэтому (a + b) : c = m + n.
Рассмотрим сумму, каждое слагаемое которой кратно одному числу: 24 + 18 при делении на 6. Можно записать 24 = 6 · 4 и 18 = 6 · 3, значит, 24 + 18 = 6 · 4 + 6 · 3 = 6 · (4 + 3). Поэтому (24 + 18) : 6 = 4 + 3 = 7.
Разделять сумму по слагаемым удобно, когда каждое отдельное деление выполняется без остатка. Тогда не появляются остатки, которые пришлось бы дополнительно учитывать, и вычисление становится короче. Например, вместо 42 : 7 можно найти 28 : 7 + 14 : 7.
Если одно слагаемое не делится на делитель нацело, в целых числах нельзя просто записать отдельное целое частное для него. Например, в выражении (23 + 15) : 5 число 23 не делится на 5 без остатка. Сначала нужно найти сумму 38, а затем решить, как записать результат, или выбрать другое разложение.
Сравним два способа на выражении (36 + 24) : 6. При первом способе получаем 60 : 6 = 10, при втором — 36 : 6 + 24 : 6 = 6 + 4 = 10. Результаты совпадают, потому что оба слагаемых делятся на 6, а значит, условие распределительного свойства выполнено.
| Ситуация | Что можно записать | Условие или пояснение |
|---|---|---|
| Каждое слагаемое делится на делитель | (a + b) : c = a : c + b : c | Правило можно применять; c ≠ 0. |
| Сумма делится на делитель, но отдельные слагаемые — не все | (a + b) : c сначала вычисляют целиком | В целых числах нельзя получать нецелые отдельные частные без специального указания. |
| Деление суммы по слагаемым | a : c + b : c | После деления обязательно сложить оба частных. |
| Проверка результата | частное · c = исходная сумма | Обратное умножение должно вернуть делимое. |
Сначала найди делитель и проверь, делятся ли на него все слагаемые. Если да, можно выбрать любой из двух способов: вычислить сумму или разделить слагаемые отдельно. После решения проверь ответ обратным умножением.
Условие. Вычислим 48 : 6, представив 48 в виде суммы двух удобных слагаемых. Нужно подобрать такие части числа 48, которые делятся на 6 без остатка. Например, подойдут 24 и 24.
Ответ: 48 : 6 = 8. Проверка показывает, что 8 · 6 = 48. Значит, разложение выбрано верно.
Условие. Найдём значение выражения (36 + 24) : 6 двумя способами. Первый способ — сначала сложить слагаемые, второй — разделить каждое слагаемое. Оба слагаемых делятся на 6, поэтому правило применимо.
Ответ: значение выражения равно 10. Оба способа дали один результат. Для устного счёта можно выбрать более быстрый способ.
Условие. Проверим равенство (25 + 15) : 5 = 25 : 5 + 15 : 5, а затем рассмотрим выражение (23 + 15) : 5. В первом случае оба слагаемых делятся на 5. Во втором случае число 23 не делится на 5 нацело.
Ответ: первое равенство верно. Второе выражение нельзя раскладывать по слагаемым таким способом в целых числах. Здесь нужно вычислять сумму целиком и учитывать вид требуемого результата.
Делят каждое слагаемое без проверки. Ошибка появляется из-за механического запоминания формулы. Сначала проверь делимость каждого слагаемого и только потом записывай отдельные частные.
Считают правило неверным, если одно слагаемое не делится нацело. На самом деле можно вычислить всю сумму или представить её другими слагаемыми. Проверь, делится ли сама сумма, и попробуй подобрать удобное разложение.
Забывают сложить частные. После отдельных делений иногда записывают только первый результат. Перечитай выражение и поставь между всеми полученными частными знак сложения.
Путают делимое и делитель. В выражении (a + b) : c сумма является делимым, а c — делителем. Проверь себя вопросом: какое число разделили и на какое число разделили?
Для этой темы нужны смысл деления и связь деления с умножением: частное можно проверить обратным действием. Также пригодится умение раскладывать число на сумму удобных слагаемых и проверять делимость. Правило используется в устных вычислениях, а также при преобразовании числовых и буквенных выражений.
Можно ли всегда делить сумму по слагаемым?
Нет, в целых числах это удобно и корректно применять, когда каждое слагаемое делится на делитель без остатка. Если это условие не выполнено, сначала вычисляют сумму или перегруппировывают её.
Почему при делении суммы частные нужно складывать?
Сумма состоит из нескольких слагаемых, поэтому после отдельного деления мы получаем части исходной суммы. Чтобы получить всё частное, эти результаты нужно сложить.
Что делать, если одно слагаемое не делится на делитель нацело?
Проверь, делится ли нацело вся сумма. Если да, можно представить её в виде других удобных слагаемых; если нет, вычисли сумму и используй деление с остатком или дробное частное.
Как выбрать удобные слагаемые для деления?
Выбирай такие слагаемые, которые кратны делителю, то есть делятся на него без остатка. Например, 48 удобно представить как 24 + 24 или 18 + 30 при делении на 6.
Как проверить результат деления суммы?
Умножь полученное частное на делитель. При верном решении получится исходная сумма; при делении по слагаемым дополнительно проверь каждое отдельное частное.
1.20. Деление суммы на число
