"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Арифметические действия помогают объединять количества, находить разницу, повторять равные слагаемые и распределять предметы поровну. У каждого действия есть свои компоненты и правила: сложение и умножение можно переставлять и группировать, а вычитание и деление — нет. Свойства действий упрощают вычисления, а порядок выполнения помогает не ошибиться в выражениях. Результат можно проверить обратным действием; при этом делить на ноль нельзя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма — результат сложения; числа, которые складывают, называют слагаемыми. Например, в записи 8 + 5 = 13 числа 8 и 5 — слагаемые, а 13 — сумма. Это название помогает различать части записи и ответ, когда нужно проверить вычисление или объяснить решение.
Разность — результат вычитания; уменьшаемое показывает, из какого числа вычитают, а вычитаемое — какое число вычитают. В записи 17 − 6 = 11 число 17 — уменьшаемое, 6 — вычитаемое, а 11 — разность. Порядок этих чисел важен: по названиям компонентов легче понять, какую величину уменьшают и на сколько.
Произведение — результат умножения; числа, которые умножают, называют множителями. Например, в записи 4 · 3 = 12 множители — 4 и 3, произведение — 12. Такие названия удобны, когда умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых и требуется найти общий результат.
Частное — результат деления; делимое делят на делитель, причём делить на ноль нельзя. В записи 20 : 4 = 5 число 20 — делимое, 4 — делитель, 5 — частное. Различение компонентов помогает восстановить пропущенное число и не перепутать, сколько распределяют и на сколько частей.
Сложение объединяет количества: если к одной группе предметов добавить другую, общее количество находят суммой. Вычитание помогает сравнить два количества или узнать, сколько останется после удаления части. Умножение удобно, когда несколько раз складывают одинаковое число: 4 · 3 означает 3 + 3 + 3 + 3. Деление связано с обратной ситуацией — равным распределением или выяснением, сколько раз одна величина содержится в другой.
Запись действия показывает, какие числа участвуют и какой результат получен: например, a + b = c. Компоненты называют по их роли, а не просто по месту в строке; это особенно важно для вычитания и деления, где порядок чисел влияет на ответ. Чтобы проверить сумму, вычитают из неё одно слагаемое и получают другое. Умножение проверяют делением произведения на известный множитель; результат проверки должен вернуть второй множитель.
Переместительное свойство сложения позволяет менять слагаемые местами, а сочетательное — по-разному группировать их: (a + b) + c = a + (b + c). Благодаря этому можно сначала сложить числа, которые дают круглую сумму. Умножение имеет оба этих свойства, поэтому множители также можно переставлять и группировать. Кроме того, умножение распределяется относительно сложения и вычитания: a · (b + c) = a · b + a · c, а a · (b − c) = a · b − a · c; общий множитель можно вынести за скобки.
Ноль и единица ведут себя по-разному в разных действиях. Прибавление нуля не меняет число, а вычитание нуля оставляет уменьшаемое без изменения; при вычитании числа из самого себя получается ноль. Умножение на ноль даёт ноль, а умножение на единицу сохраняет число. Ноль, делённый на ненулевое число, равен нулю, но делить на ноль нельзя, потому что не существует числа, которое при умножении на ноль дало бы ненулевое делимое.
Порядок действий нужен, чтобы у одного выражения был однозначный результат. Сначала вычисляют в скобках, поскольку они выделяют часть, которую следует рассмотреть как отдельное целое. Потом выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание; действия одного уровня выполняют слева направо. Поэтому выражение 8 + 2 · 3 означает 8 + 6, а не 10 · 3.
| Действие | Запись | Компоненты | Обратное действие | Особые условия |
|---|---|---|---|---|
| Сложение | a + b = c | a и b — слагаемые, c — сумма | Вычитание | Складывать можно в любом порядке |
| Вычитание | a − b = c | a — уменьшаемое, b — вычитаемое, c — разность | Сложение | Порядок компонентов важен |
| Умножение | a · b = c | a и b — множители, c — произведение | Деление | Умножать можно в любом порядке |
| Деление | a : b = c | a — делимое, b — делитель, c — частное | Умножение | b ≠ 0 |
Сначала найди в записи знак действия, а затем назови его компоненты и результат. Столбец с обратным действием подсказывает, как проверить вычисление или найти неизвестный компонент. Условие b ≠ 0 напоминает, что делитель не может быть нулём.
Задача 1. Вычислите 38 + 27 и проверьте результат обратным действием. Проверка вычитанием покажет, действительно ли из найденной суммы после удаления одного слагаемого остаётся другое. Это надёжнее, чем повторно складывать те же числа.
Ответ: 65.
Задача 2. Вычислите 6 · (14 − 9) + 18 : 3. В выражении есть скобки, умножение, деление и сложение, поэтому нельзя считать просто слева направо. Сначала найдём значение в скобках, потом выполним действия одинакового приоритета, и только затем сложим результаты.
Ответ: 36.
Задача 3. Вычислите удобным способом 25 · 16 + 25 · 4 и объясните преобразование. Оба слагаемых содержат общий множитель 25, поэтому вместо двух отдельных умножений можно воспользоваться распределительным свойством в обратную сторону. Сначала сложим числа, на которые умножают 25.
Ответ: 500.
Иногда при вычитании меняют местами уменьшаемое и вычитаемое, а при делении — делимое и делитель, считая, что порядок не влияет на результат. Так происходит из-за сходства этих действий со сложением и умножением, где перестановка допустима. Проверь себя подстановкой простых чисел: 9 − 4 = 5, но 4 − 9 не равно 5; 12 : 3 = 4, а 3 : 12 — другое число.
Другая ошибка — вычислять выражение слева направо, не учитывая приоритет действий. Например, в 8 + 2 · 3 сначала ошибочно складывают 8 и 2, хотя умножение выполняется раньше сложения. Перед вычислением отметь скобки, затем умножение и деление, затем сложение и вычитание; после каждого шага сверяй порядок с этим правилом.
Нельзя делить на ноль, но некоторые также ошибочно считают, что ноль нельзя делить на ненулевое число. Деление на ноль не определено, а 0 : a = 0, если a ≠ 0. Чтобы проверить себя, вспомни связь деления с умножением: 0 · a = 0, поэтому ноль, разделённый на ненулевой делитель, даёт ноль.
При раскрытии скобок иногда умножают число только на первое слагаемое и забывают про остальные части. Причина — невнимательное чтение распределительного свойства: множитель должен относиться к каждому слагаемому или вычитаемому внутри скобок. Проверь раскрытие, снова вынеся общий множитель: например, 3 · (4 + 5) должно превратиться в 3 · 4 + 3 · 5, а не только в 3 · 4 + 5.
Для изучения темы нужно уметь выполнять действия с числами, которые уже встречались в курсе, и понимать их запись. Знание названий компонентов помогает замечать, какую роль играет каждое число, и находить неизвестное с помощью обратного действия. Поэтому полезно заранее повторить таблицы умножения и деления и правила вычислений с изученными числами.
Навык вычислений и порядок действий нужны при нахождении значений выражений, решении уравнений и текстовых задач. В уравнении обратное действие помогает восстановить неизвестное число, а в задаче арифметические действия переводят условие в расчёт. Свойства действий позволяют упростить вычисления и снизить риск ошибки.
Почему вычитание и деление нельзя выполнять в любом порядке?
Потому что при перестановке чисел меняется смысл действия и обычно меняется результат: 9 − 4 = 5, но 4 − 9 ≠ 5. Так же и 12 : 3 = 4, а 3 : 12 — другое число. Поэтому менять местами вычитаемое с уменьшаемым или делитель с делимым нельзя.
Как проверить результат сложения или умножения?
Сложение проверяют вычитанием: из суммы вычитают одно слагаемое и получают другое. Умножение проверяют делением: произведение делят на один множитель и получают второй, если делитель не равен нулю.
Почему делить на ноль нельзя?
Деление отвечает на вопрос, какое число при умножении на делитель даёт делимое. Для деления на ноль пришлось бы найти число, произведение которого на 0 равно делимому, но любое такое произведение равно 0. Поэтому деление на ноль не определено.
Что делать, если в выражении есть скобки и несколько арифметических действий?
Сначала вычисляют выражения в скобках. Затем выполняют умножение и деление по порядку слева направо, после них — сложение и вычитание также слева направо. Запиши промежуточные результаты, чтобы не потерять порядок.
Как свойства действий помогают вычислять удобнее?
Переместительное и сочетательное свойства позволяют переставлять и группировать слагаемые или множители, чтобы получить удобные числа. Распределительное свойство помогает вынести общий множитель или раскрыть скобки. Например, 25 · 16 + 25 · 4 удобнее вычислить как 25 · (16 + 4).
1.19. Арифметические действия над числами
