"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Умножение двузначного числа на однозначное удобно выполнять, если представить двузначное число как сумму десятков и единиц. Например, 26 = 20 + 6, поэтому вместо одного сложного вычисления получаются два простых произведения, которые затем складывают. Тот же приём работает, когда однозначное число записано первым: множители можно переставлять местами. Так проще считать в уме и понятнее, как устроено письменное умножение.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двузначное число — число, запись которого состоит из двух цифр; его можно представить как сумму десятков и единиц. Например, 26 = 20 + 6: здесь 2 десятка и 6 единиц. Такое представление помогает увидеть состав числа и выполнить умножение по частям.
Однозначное число — число, записанное одной цифрой. В примере 26 · 3 однозначный множитель — это 3. Понимание, какой множитель однозначный, помогает определить, какой частью числа удобнее управлять при вычислении.
Произведение — результат умножения; числа, которые умножают, называются множителями. Например, в записи 26 · 3 = 78 числа 26 и 3 — множители, а 78 — произведение. Эти названия помогают различать числа в записи и результат действия.
Распределительное свойство умножения относительно сложения позволяет умножить число на сумму: a · (b + c) = a · b + a · c. Оно означает, что можно умножить число отдельно на каждое слагаемое, а результаты сложить. Именно это свойство лежит в основе умножения по разрядам.
Двузначное число раскладывают на десятки и единицы, например 26 = 20 + 6. Это не меняет значение числа: двадцать шесть — это двадцать и ещё шесть. Такое разложение полезно, потому что произведения с круглыми десятками и отдельными единицами обычно проще вычислить, чем сразу умножать всё число.
Чтобы умножить двузначное число на однозначное, умножают однозначный множитель отдельно на десятки и единицы, а затем складывают результаты. Например, в 23 · 3 число 23 заменяем суммой 20 + 3: получаем 20 · 3 + 3 · 3. Так действует распределительное свойство: умножение суммы на число можно заменить суммой произведений.
Умножая десятки, нужно сохранять их разрядное значение. Например, 3 · 20 — это три раза по двадцать, или 3 · 2 десятка, то есть 6 десятков. Шесть десятков составляют 60, поэтому ответом будет не 6: ноль показывает, что получены именно десятки.
Если однозначное число записано первым, двузначный множитель всё равно раскладывают на разрядные слагаемые. Например, в 4 · 26 число 26 представляют как 20 + 6 и получают 4 · (20 + 6) = 4 · 20 + 4 · 6. Причина та же: распределительное свойство позволяет умножить число на каждую часть суммы.
Порядок множителей можно поменять по переместительному свойству: от перестановки множителей произведение не меняется. Поэтому 4 · 26 и 26 · 4 дают одинаковый результат, а вычисление сводится к одному приёму. Выбирай порядок, который удобнее для записи, но не забывай умножить на оба разрядных слагаемых.
В таблице показан общий порядок вычисления: сначала двузначное число представляют суммой десятков и единиц, затем умножают каждое слагаемое на однозначный множитель. После этого частичные произведения складывают. Используй этот порядок как схему и отдельно следи за значением десятков.
| Случай | Представление двузначного числа | Как вычислять | Пример |
|---|---|---|---|
| Двузначное число умножают на однозначное | Десятки + единицы | Умножить однозначный множитель на каждое слагаемое и сложить результаты | 24 · 3 = 20 · 3 + 4 · 3 |
Задача 1. Вычисли 23 · 3. Разложим 23 на десятки и единицы: 23 = 20 + 3. Так мы заменяем исходное действие двумя более простыми умножениями. Затем сложим частичные произведения, чтобы получить общее количество.
Ответ: 69. Проверяем разряды: 20 · 3 дало 60, а 3 · 3 — 9. Их сумма равна 69, что больше 60, как и должно быть.
Задача 2. Вычисли 4 · 26. Здесь первым записано однозначное число, но удобнее разложить двузначный множитель 26. Он состоит из 20 и 6, поэтому умножим 4 на обе части. Если пропустить одно слагаемое, произведение получится неполным.
Ответ: 104. В частичном произведении 4 · 20 учтены десятки, а 4 · 6 даёт единицы. Оба результата нужны для полного ответа.
Задача 3. Вычисли 7 · 38 и проверь результат перестановкой множителей. Сначала разложим 38 на 30 и 8. После вычисления сложим полученные части, а затем переставим множители и повторим вычисление. Совпадение результатов подтвердит ответ.
Ответ: 266. При проверке получилось то же произведение. Кроме того, 7 · 30 уже равно 210, поэтому общий результат должен быть больше 210.
Умножают только цифру единиц и забывают про десятки. Так происходит, когда число читают как две отдельные цифры и не раскладывают на разрядные слагаемые. Проверь себя: в записи должны быть два частичных произведения, например 23 · 3 = 20 · 3 + 3 · 3.
Считают 3 · 20 равным 6 или записывают 6, не учитывая разряд. Ошибка возникает, если умножить цифры 3 и 2, но забыть, что 2 обозначает два десятка. Спроси себя, сколько десятков получилось: 3 раза по 2 десятка — это 6 десятков, то есть 60.
Неверно складывают частичные произведения. При вычислении в уме легко потерять одно слагаемое или ошибиться в сумме. Запиши результаты отдельно, затем сложи их и проверь сложение обратным действием, например вычитанием одного слагаемого из суммы.
Считают, что приём работает только тогда, когда двузначное число стоит первым. Такое ограничение забывает о переместительном свойстве умножения. Если сомневаешься, поменяй множители местами и проверь равенство: 4 · 26 = 26 · 4.
Для этого приёма нужно уметь раскладывать двузначные числа на десятки и единицы и выполнять сложение. Также пригодится таблица умножения, на которой основаны вычисления с отдельными разрядами. Распределительное свойство объясняет умножение по частям, а переместительное позволяет менять множители местами.
Приём становится основой письменного умножения многозначных чисел: там тоже учитывают разряды и складывают частичные произведения. Разложение на слагаемые помогает и в других вычислениях, когда большое число удобно заменить несколькими более простыми частями. Поэтому полезно не только запомнить порядок действий, но и понимать, откуда он берётся.
Почему двузначное число раскладывают на десятки и единицы?
Так видно, из каких разрядов состоит число, и можно умножить отдельно десятки и единицы. Затем частичные произведения складывают, получая общий результат.
Как умножить однозначное число на двузначное?
Разложи двузначное число на десятки и единицы, умножь однозначное число на каждое слагаемое и сложи результаты. Например, 4 · 26 = 4 · 20 + 4 · 6 = 104.
Нужно ли отдельно умножать однозначный множитель на десятки?
Да. Десятки — часть двузначного числа, поэтому множитель применяют и к ним, и к единицам. Например, в 23 · 3 нужно вычислить и 20 · 3, и 3 · 3.
Можно ли поменять множители местами?
Да, от перестановки множителей произведение не меняется: a · b = b · a. Поэтому 4 · 26 можно вычислить как 26 · 4, используя тот же приём.
Как проверить результат умножения?
Можно поменять множители местами и вычислить произведение ещё раз другим способом. Также проверь сложение частичных произведений и оцени, правдоподобен ли ответ: например, произведение 23 · 3 должно быть немного больше 20 · 3.
1.18. Умножение двузначного числа на однозначное. Умножение однозначного числа на двузначное
