"Математика (в 3-х частях)", Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П.
Умножение суммы на число позволяет заменить одно действие несколькими: внешний множитель умножают на каждое слагаемое в скобках, а результаты складывают. Например, 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2. То же правило работает для разности, только между произведениями сохраняется знак минус. Свойство помогает считать устно, раскрывать скобки и, наоборот, выносить общий множитель за скобки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение суммы на число — это умножение числа на сумму слагаемых. Например, 3 · (4 + 2) означает, что сумму 4 + 2 берут три раза: (4 + 2) + (4 + 2) + (4 + 2). Такую запись можно заменить на 3 · 4 + 3 · 2. Это помогает считать выражение по частям, не обязательно сначала выполняя действие в скобках.
Распределительное свойство умножения относительно сложения записывают так: a · (b + c) = a · b + a · c. Буквы обозначают числа, а внешний множитель a умножается на каждое слагаемое — и на b, и на c. Это правило нужно, чтобы раскрывать скобки или выбирать более удобный порядок вычислений.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания записывают так: a · (b − c) = a · b − a · c. Здесь множитель также относится к обоим членам разности, но между произведениями остаётся знак минус. Свойство применяют, когда разность b − c имеет смысл; оно позволяет раскрыть скобки, не меняя значения выражения.
Представь три одинаковые коробки, в каждой лежат четыре красных и две синие фишки. Всего фишек можно посчитать по коробкам: 3 · (4 + 2). Но можно отдельно посчитать красные фишки во всех коробках и синие фишки во всех коробках, а затем сложить результаты: 3 · 4 + 3 · 2. Получается одинаковое количество, потому что в каждой коробке обе части повторяются по три раза. Так предметная модель показывает, откуда берётся распределение множителя.
То же рассуждение работает с буквами. Произведение a · (b + c) означает сумму из a одинаковых слагаемых, каждое из которых равно b + c. Если раскрыть эти скобки в каждом слагаемом, получится a слагаемых b и a слагаемых c. Их можно сгруппировать в два произведения: a · b и a · c, поэтому a · (b + c) = a · b + a · c. Основание правила — смысл умножения как сложения одинаковых слагаемых, а не только удобная запись.
При разности действует похожее рассуждение: разность b − c можно представить как число b, из которого вычитают c. Если таких разностей a, то сначала получаем a частей b, а затем вычитаем a частей c. Поэтому a · (b − c) = a · b − a · c. Минус сохраняется, потому что вычитаемая часть c тоже повторяется a раз; замена его на плюс означала бы уже другое действие.
Свойство можно применять и в обратную сторону. В выражении 6 · 18 + 6 · 2 оба слагаемых содержат общий множитель 6, поэтому каждое произведение можно объединить: 6 · (18 + 2). При раскрытии скобок получилось бы исходное выражение, значит, преобразование сохраняет значение. В скобках остаются те числа, на которые общий множитель умножался в каждом слагаемом.
Порядок слагаемых в сумме разрешается менять, поэтому перед вычислением можно переставить их так, чтобы получить круглое число или более простую сумму. Например, в скобках можно записать 2 + 18 вместо 18 + 2, не меняя сумму. Но внешний множитель всё равно должен умножаться на каждый член скобок. В разности перестановка членов меняет знак выражения, поэтому менять их местами без изменения записи нельзя.
В таблице собраны правила для раскрытия скобок и обратного преобразования. Перед выбором способа проверь, какой знак стоит внутри скобок и есть ли общий множитель. Примеры показывают, как сохранить знаки и проверить результат.
| Случай | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Умножение суммы на число | a · (b + c) = a · b + a · c | 4 · (10 + 3) = 4 · 10 + 4 · 3 |
| Умножение разности на число | a · (b − c) = a · b − a · c | 7 · (20 − 2) = 7 · 20 − 7 · 2 |
| Обратное применение: вынесение общего множителя за скобки | a · b + a · c = a · (b + c) | 6 · 18 + 6 · 2 = 6 · (18 + 2) |
| Проверка результата подстановкой значений | Вычислить обе части при одинаковых значениях букв | При a = 2, b = 5, c = 3: 2 · (5 + 3) = 16 и 2 · 5 + 2 · 3 = 16 |
Задача. Вычислите 4 · (10 + 3). В скобках стоит сумма, поэтому можно сначала найти её, а можно распределить умножение. Выберем второй способ: произведения 4 · 10 и 4 · 3 легко посчитать отдельно. После этого останется сложить полученные числа.
Ответ: 52. Проверка прямым способом: 10 + 3 = 13, затем 4 · 13 = 52. Совпадение подтверждает, что скобки раскрыты правильно.
Задача. Вычислите 7 · (20 − 2), выбрав удобный способ. Здесь можно сперва получить 18 в скобках и умножить на 7, а можно применить свойство к разности. Сравним оба способа: первый короче, а второй показывает, как работает знак минус. При вычислении через разность важно не заменить вычитание сложением.
Ответ: 126. Оба способа одинаково верны, но для этих чисел вычисление через разность произведений удобно, потому что 7 · 20 легко найти. Если бы скобки давали число, которое просто умножать, можно было бы сначала посчитать скобки.
Задача. Упростите выражение 6 · 18 + 6 · 2 и найдите его значение. В обоих слагаемых повторяется множитель 6, значит, его можно вынести за скобки. Тогда числа 18 и 2 окажутся внутри скобок, а их сумма даст круглое число. Это сокращает вычисления и помогает увидеть общую структуру выражения.
Ответ: выражение упрощается до 6 · (18 + 2), его значение равно 120. Проверка раскрытием скобок возвращает исходную запись. Можно проверить и вычислением исходных произведений: 108 + 12 = 120.
Первая ошибка — умножить внешний множитель только на первое слагаемое: например, записать a · (b + c) = a · b + c. Так происходит, когда ученик раскрывает скобки слишком быстро и не проверяет каждый член. Проведи от внешнего множителя отдельную проверку к каждому слагаемому. Для примера 3 · (4 + 2) правильная запись — 3 · 4 + 3 · 2.
При работе с разностью иногда теряют минус и пишут a · (b − c) = a · b + a · c. Ошибка возникает, если запомнить только то, что множитель действует на оба числа, но забыть исходный знак между ними. Сверь получившуюся запись с выражением в скобках: если там вычитание, между произведениями тоже должно стоять вычитание. Подстановка чисел покажет, что вариант со знаком плюс часто даёт другое значение.
При вынесении общего множителя за скобки можно неверно записать оставшиеся числа или пропустить одно из слагаемых. Это случается, если вынести общий множитель только из одного произведения и не разделить на него каждое слагаемое. Проверь, что в скобках есть отдельный результат для каждого исходного слагаемого. Затем раскрой новые скобки: если исходное выражение не восстановилось, преобразование нужно исправить.
Нельзя бездумно переставлять слагаемые или множители так, чтобы изменилось значение выражения. Множители в произведении можно менять местами, а слагаемые суммы — переставлять, но у разности порядок членов важен: b − c не равно c − b в общем случае. Такая ошибка часто появляется, когда ученик воспринимает минус как разделитель, который можно передвинуть. Для проверки сравни выражения с простыми числами, например 8 − 3 и 3 − 8.
Чтобы пользоваться свойством, нужно понимать смысл умножения как сложения одинаковых слагаемых, а также уметь складывать и вычитать числа. Пригодятся порядок действий и правила работы со скобками: сначала нужно правильно прочитать выражение, а затем выбрать преобразование. Если скобки можно вычислить сразу, это остаётся допустимым способом решения.
Распределительное свойство помогает быстрее выполнять устные вычисления и упрощать выражения. Им раскрывают скобки, а в обратную сторону выносят общий множитель за скобки. Эти умения пригодятся при преобразовании выражений и подготовят к работе с буквенными формулами.
Почему множитель нужно умножать на каждое слагаемое в скобках?
Сумма в скобках состоит из нескольких частей, и множитель показывает, сколько раз нужно взять всю эту сумму. Значит, он берёт указанное число раз каждое слагаемое: a · (b + c) = a · b + a · c.
Как раскрыть скобки, если в них стоит разность?
Умножь внешний множитель на оба члена разности и сохрани знак минус между произведениями: a · (b − c) = a · b − a · c. Это правило применимо, когда разность имеет смысл.
Можно ли сначала вычислить выражение в скобках, а потом умножить?
Да, если вычисление в скобках удобно: сначала найди сумму или разность, затем умножь результат. Распределительное свойство даёт другой способ, который может упростить устный счёт.
Как понять, что общий множитель можно вынести за скобки?
Проверь, есть ли одинаковый множитель во всех слагаемых. Запиши его перед скобками, а в скобках оставь множители, на которые каждое слагаемое делилось.
Как проверить, что преобразование выполнено правильно?
Подставь значения вместо букв и вычисли выражение до и после преобразования. Если результаты совпали, проверка пройдена; для числовых примеров достаточно посчитать обе части равенства.
1.17. Умножение суммы на число
