"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В.
Умножение суммы на число позволяет заменить одно действие несколькими более простыми: каждое слагаемое умножают на общий множитель, а произведения складывают. Это свойство помогает считать устно и письменно, например разложить 23 на 20 и 3. Обратное преобразование — вынесение общего множителя за скобки — упрощает выражения с одинаковыми множителями. Главное — не забывать умножить число на каждое слагаемое и сохранить знак между результатами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение суммы на число — правило, по которому каждое слагаемое умножают на это число, а полученные произведения складывают. Например, 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2. Правило показывает, как заменить умножение скобок на несколько отдельных умножений. Оно помогает не пропустить ни одну часть суммы.
Распределительное свойство умножения относительно сложения записывают так: a(b + c) = ab + ac. Буквы здесь обозначают любые числа, а произведение ab означает a · b. Равенство выражает, что умножить сумму на число можно через умножение каждого слагаемого. Эта запись пригодится для обоснования вычислений и преобразования выражений.
Раскрытие скобок — это замена произведения числа на сумму суммой произведений этого числа на каждое слагаемое. Например, 5(2 + 7) заменяют на 5 · 2 + 5 · 7. Так исходное действие становится удобнее выполнять по частям. При сложении внутри скобок между новыми произведениями сохраняется знак плюс.
Вынесение общего множителя за скобки — обратное преобразование ab + ac = a(b + c). Общим множителем называют число, на которое делится каждое слагаемое; в примере это a. В скобках записывают частные от деления слагаемых на этот множитель. Такое преобразование полезно, когда общий множитель позволяет упростить запись или вычисление.
Представим a одинаковых групп, в каждой из которых есть b предметов одного вида и c предметов другого вида. В одной группе всего b + c предметов, поэтому во всех группах их a(b + c). Если считать отдельно каждый вид, предметов первого вида будет ab, а второго — ac. Всего получится ab + ac, и это то же самое количество, что и при подсчёте группами.
Число a умножают на каждое слагаемое, потому что и b, и c встречаются в каждой из a групп. Если умножить только b, будут учтены предметы первого вида, но предметы второго вида останутся за подсчётом. Отдельные произведения ab и ac показывают число предметов каждого вида во всех группах. Их сложение собирает полный итог.
Так смысл умножения приводит к равенству a(b + c) = ab + ac. Левая часть считает группы целиком, а правая — те же группы по отдельным частям. Поскольку оба способа дают общее количество одних и тех же предметов, значение выражения не меняется. Поэтому переход от одной записи к другой является преобразованием, а не новым вычислением с другим результатом.
Правило можно использовать для удобного устного или письменного счёта, если представить число как сумму подходящих частей. Например, 7 · 23 удобно заменить на 7 · (20 + 3): десятки легко умножить отдельно, а затем прибавить единицы. Разбиение выбирают так, чтобы отдельные произведения было просто вычислить. Можно применять свойство и в обратную сторону, если в нескольких слагаемых повторяется множитель.
Чтобы убедиться в правильности раскрытия скобок, можно вычислить исходное выражение и преобразованную запись независимо. Если в них есть буквы, вместо них подставляют конкретные числа и сравнивают значения. Например, при a = 2, b = 4, c = 3 обе части равны 14. Проверка обнаруживает ошибки в знаках и пропущенные произведения, хотя сама по себе не заменяет правильного применения правила.
В таблице собраны прямые и обратные преобразования. Примеры показывают, что нужно делать с каждым слагаемым и где сохранить знак. Пользуйся строкой, подходящей к записи выражения: сначала найди множитель перед скобками или общий множитель в слагаемых.
| Преобразование | Что сделать | Пример |
|---|---|---|
| a(b + c) = ab + ac | Умножить число на каждое слагаемое | 3(4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2 |
| a(b − c) = ab − ac | Умножить число на уменьшаемое и вычитаемое | 5(8 − 3) = 5 · 8 − 5 · 3 |
| ab + ac = a(b + c) | Вынести общий множитель за скобки | 4 · 6 + 4 · 2 = 4(6 + 2) |
| ab − ac = a(b − c) | Вынести общий множитель за скобки с учётом разности | 7 · 9 − 7 · 3 = 7(9 − 3) |
Сумма в скобках равна 23, но можно умножить число на её части по отдельности. Разложение 23 на 20 и 3 удобно, потому что умножать на круглые десятки просто. Затем результаты нужно сложить, так как исходное действие содержит сумму.
Ответ: 161. Проверка: 20 + 3 = 23, а 7 · 23 = 161. Оба способа дают одинаковый результат.
В обоих слагаемых повторяется множитель 25, значит его можно вынести за скобки. После этого останется сумма множителей 16 и 4. Она равна круглому числу, поэтому исходное вычисление заметно упрощается.
Ответ: 500. Проверить можно отдельно: 16 · 25 = 400, а 4 · 25 = 100. Сумма этих произведений тоже равна 500.
Число 12 раскладываем на десяток и две единицы. Умножение на каждую часть проще выполнить отдельно, после чего результаты складываются. В конце сравним вычисление по частям с обычным умножением столбиком.
Ответ: 456. При умножении столбиком получено то же число, значит вычисление по частям подтверждено. Такое сравнение помогает заметить ошибку в одном из промежуточных произведений.
Первая ошибка — умножить число только на первое слагаемое в скобках. Так делают, когда воспринимают скобки как лишнюю запись и торопятся начать вычисление. Но тогда часть суммы не учитывается: в записи 3(4 + 2) нельзя получить только 3 · 4. Проверь себя, выписав отдельное произведение для каждого слагаемого.
При раскрытии скобок иногда меняют знак между произведениями или теряют его. Это происходит, когда механически записывают результат, не следя за исходным знаком внутри скобок. При сумме остаётся плюс, а при разности — минус: a(b − c) = ab − ac. Сверь знак в исходных скобках со знаком между новыми произведениями.
При вынесении общего множителя можно неверно записать остаток в скобках. Обычно это случается, если делить на выбранный множитель только одно слагаемое или ошибиться в частном. Найди, на что делится каждое слагаемое, и запиши оба частных. Для проверки раскрой полученные скобки: исходные слагаемые должны восстановиться.
Ещё одна ошибка — раскрывать скобки, хотя перед ними нет множителя. Правило относится к произведению числа на сумму или разность, например 4(2 + 3), а не к любой записи со скобками. Эту ошибку допускают, потому что запоминают формулу, но не проверяют, подходит ли к ней выражение. Сначала найди множитель перед скобками и убедись, что он умножается на всё выражение внутри.
Для применения правила нужно знать смысл умножения, сложения и вычитания, а также порядок действий и работу со скобками. Распределительное свойство помогает устно считать, умножать многозначные числа и преобразовывать числовые выражения. Разложение множителя на удобные слагаемые позволяет выполнять вычисления по частям. Позже это свойство используют в буквенных выражениях и при решении уравнений.
Почему число перед скобками нужно умножить на каждое слагаемое?
Скобки обозначают сумму, которая повторяется столько раз, сколько показывает множитель. Поэтому учитывают каждую часть суммы: a(b + c) = ab + ac.
Как раскрыть скобки, если внутри стоит разность?
Умножьте число перед скобками на оба числа внутри. Между произведениями оставьте знак минус: a(b − c) = ab − ac.
Можно ли применять правило для вычислений в уме?
Да, можно разложить число на удобные слагаемые и умножить каждое отдельно. Например, 7 · 23 = 7 · 20 + 7 · 3 = 161.
Как понять, какой множитель можно вынести за скобки?
Найдите число или буквенный множитель, который есть во всех слагаемых. Разделите каждое слагаемое на него: полученные части запишите в скобках.
Как проверить, правильно ли раскрыты скобки?
Вычислите исходное выражение и результат раскрытия скобок отдельно и сравните ответы. Можно также подставить вместо букв конкретные числа.
Умножение суммы на число
