"Математика", Чекин А.Л.
Умножение суммы на число позволяет заменить одно действие несколькими более удобными: умножить число на каждое слагаемое и сложить результаты. Это правило называют распределительным свойством умножения относительно сложения. Оно помогает считать устно, раскрывать скобки и упрощать буквенные выражения. Например, вместо 7 · (20 + 3) можно вычислить 7 · 20 + 7 · 3. Правило работает и для суммы из нескольких слагаемых, а в обратном порядке помогает вынести общий множитель за скобки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение суммы на число — это умножение числа на сумму нескольких слагаемых. Например, 3 · (4 + 2) означает, что сумму 4 + 2 берут три раза. Такое действие можно выполнить напрямую или преобразовать выражение, чтобы считать было удобнее.
Распределительное свойство умножения относительно сложения — правило, по которому число умножают на каждое слагаемое, а полученные произведения складывают. Например, 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2. Это правило помогает раскрывать скобки и выбирать удобный способ вычисления.
Сумма произведений — выражение, в котором несколько произведений соединены знаком сложения. При умножении суммы на число она получается так: каждое слагаемое исходной суммы умножают на данный множитель, а результаты складывают. В равенстве 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2 правая часть и есть сумма произведений.
В буквенной записи правило выглядит так: (a + b) · c = a · c + b · c. Буквы обозначают любые числа, поэтому равенство подходит не только для конкретных примеров. Оно показывает, как преобразовать произведение суммы на число, и позволяет применять правило к выражениям с неизвестными.
Представь три одинаковые коробки, в каждой из которых лежат 4 красных и 2 синих карандаша. Всего карандашей можно посчитать как 3 · (4 + 2): сначала найти количество карандашей в одной коробке, затем умножить на число коробок. Можно посчитать отдельно красные и синие: 3 · 4 красных и 3 · 2 синих. Оба способа учитывают все предметы, поэтому 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2.
Общее равенство выводится из смысла умножения как повторного сложения. Выражение (a + b) · c означает, что сумма a + b повторяется c раз: (a + b) + (a + b) и так далее. Если раскрыть эту запись, получится c слагаемых a и c слагаемых b. Их можно сгруппировать как a · c + b · c, поэтому (a + b) · c = a · c + b · c.
Если в скобках три слагаемых, множитель распределяется на каждое из них. Например, (a + b + d) · c = a · c + b · c + d · c. Причина та же: повторяется вся сумма, значит, повторяется каждое её слагаемое. Иногда перед вычислением полезно сгруппировать слагаемые, например 14 + 9 + 1 превратить в 14 + 10.
Преобразование можно выполнить и в обратную сторону. В выражении 5 · a + 5 · b множитель 5 есть в обоих слагаемых, поэтому его можно вынести за скобки: 5 · (a + b). Это называют вынесением общего множителя за скобки. Такое преобразование удобно, когда сумма произведений выглядит громоздко или когда нужно упростить выражение.
Для разности действует похожее правило: (a − b) · c = a · c − b · c. Множитель умножают на каждое слагаемое, но знак минус перед вторым слагаемым сохраняют. Например, 4 · (10 − 3) = 4 · 10 − 4 · 3. Смысл можно проверить вычислением: обе части равны 28.
| Ситуация | Запись | Что сделать |
|---|---|---|
| Сумма двух слагаемых умножается на число | (a + b) · c = a · c + b · c | Умножить оба слагаемых на c и сложить произведения |
| Сумма трёх слагаемых умножается на число | (a + b + d) · c = a · c + b · c + d · c | Умножить на c каждое из трёх слагаемых и сложить результаты |
| Общий множитель выносится за скобки | a · c + b · c = (a + b) · c | Проверить общий множитель и записать его перед скобками |
| Разность умножается на число | (a − b) · c = a · c − b · c | Умножить на c оба слагаемых, сохранив знак минус |
Найди в первом столбце нужную ситуацию, а затем сверь запись с выражением из задачи. Столбец «Что сделать» подсказывает порядок действий. Обязательно проверь, что множитель относится ко всем слагаемым и знаки остались прежними.
Задача 1. Вычислите 7 · (20 + 3). В скобках числа 20 и 3, а множитель 7 можно распределить между ними. Так получится сумма произведений, которую удобно вычислить отдельно. Выполним преобразование и проверим результат.
Ответ: 161. Здесь раскрытие скобок удобно, потому что произведения на 20 и на 3 легко находятся. Можно проверить результат, сначала сложив числа в скобках: 20 + 3 = 23, а 7 · 23 = 161. Оба способа дают одно и то же значение.
Задача 2. Вычислите 6 · (14 + 9 + 1). Можно умножить 6 на каждое слагаемое, но сначала заметим, что 9 + 1 = 10. Такая группировка превращает исходную сумму в 14 + 10 и упрощает вычисление. Затем применим распределительное свойство.
Ответ: 144. Можно было сразу записать три произведения: 6 · 14 + 6 · 9 + 6 · 1. Результат был бы тем же, но группировка 9 и 1 помогает быстрее выполнить счёт. Она не меняет значение суммы, а только делает вычисления удобнее.
Задача 3. Упростите выражение 8 · (x + 5) − 3 · (x + 5). У двух частей выражения одинаковая сумма в скобках, но перед ней стоят разные множители. Раскроем обе пары скобок, сохраняя знаки, а затем объединим слагаемые с x и числа. Можно также заметить общий множитель, что даст короткий способ проверки.
Ответ: 5x + 25. Проверим вынесением общего множителя: исходное выражение равно (8 − 3) · (x + 5) = 5 · (x + 5). Если раскрыть эти скобки, снова получится 5x + 25. Совпадение подтверждает, что преобразование выполнено правильно.
Первая ошибка — умножить число только на первое слагаемое в скобках. Например, вместо 3 · (4 + 2) = 3 · 4 + 3 · 2 записать только 3 · 4. Так бывает, если ученик спешит и воспринимает скобки как одно число, не распределяя множитель. Проверь, что после раскрытия скобок каждому слагаемому соответствует произведение с данным числом.
При раскрытии скобок иногда теряют знак слагаемого, особенно если в скобках стоит разность. Например, в выражении 5 · (a − b) должно получиться 5a − 5b, а не 5a + 5b. Ошибка возникает, когда механически записывают произведения и забывают исходный минус. Сверь знаки каждого слагаемого в исходной записи и в результате.
Нельзя заменять умножение слагаемых сложением с числом вне скобок. Например, 4 · (6 + 2) — это не 4 + 6 + 2: число 4 означает, что всю сумму берут четыре раза. Ошибка связана со смешением действий и пропуском множителя. Чтобы проверить себя, посчитай исходное выражение сначала внутри скобок: 4 · 8 = 32.
При обратном преобразовании выносят за скобки множитель, которого нет в одном из слагаемых. Например, в выражении 6a + 5 нельзя вынести 6 так, будто оба слагаемых делятся на 6 без остатка. Так происходит, если проверяют только первый член суммы. Перед вынесением проверь каждый член: общий множитель должен быть у всех слагаемых.
Для работы с распределительным свойством нужно знать смысл умножения, порядок действий и правила сложения чисел. Скобки показывают, какие действия выполняются вместе, а порядок действий помогает понять, что вычислять сначала. Если эти основы знакомы, преобразование можно выполнять осмысленно, а не только по образцу.
Раскрытие скобок связано с упрощением буквенных выражений и приведением подобных слагаемых. Сначала распределяют множитель, затем объединяют слагаемые с одинаковой буквенной частью. Обратное преобразование — вынесение множителя — тоже помогает упрощать запись.
Распределительное свойство пригодится при устных вычислениях, когда сумму удобно разложить на части. Оно также помогает преобразовывать выражения и решать уравнения. Умение действовать в обе стороны позволяет выбирать более короткий путь решения.
Почему число нужно умножать на каждое слагаемое?
Сумма обозначает объединение нескольких частей, а умножение на число означает взять каждую такую сумму несколько раз. Поэтому каждое слагаемое повторяется нужное число раз. Если умножить только одно слагаемое, часть суммы потеряется.
Как умножить число на сумму трёх слагаемых?
Умножь число на каждое из трёх слагаемых отдельно, а затем сложи полученные произведения. Например, c · (a + b + d) = c · a + c · b + c · d. Можно сначала сгруппировать слагаемые, если так вычислять удобнее.
Можно ли сначала сложить числа в скобках, а потом умножить?
Да, если числа в скобках удобно сложить, можно сначала найти сумму, а затем умножить её на число. Например, 6 · (14 + 9 + 1) = 6 · 24. Раскрытие скобок — другой способ вычисления, который бывает удобнее при подходящих слагаемых.
Как проверить, правильно ли раскрыты скобки?
Проверь, что множитель умножен на каждое слагаемое, а знаки слагаемых сохранены. Затем вычисли исходное выражение и полученное отдельно, если вместо букв стоят числа. Результаты должны совпасть.
Чем раскрытие скобок отличается от вынесения множителя за скобки?
При раскрытии скобок произведение суммы заменяют суммой произведений: (a + b) · c = a · c + b · c. При вынесении общего множителя выполняют обратное преобразование: a · c + b · c = (a + b) · c. Во втором случае сначала проверяют, что общий множитель есть у каждого слагаемого.
Умножение суммы на число
