"Математика", Чекин А.Л.
Умножение многозначного числа на однозначное позволяет быстро находить произведение, когда один множитель состоит из нескольких цифр, а второй — из одной. Для вычисления число разбивают на разрядные слагаемые или умножают его цифры по порядку, начиная с единиц. Если в разряде получаются десятки, их переносят к следующему разряду. Письменная запись помогает не потерять переносы и сохранить правильное место каждой цифры.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многозначное число — число, записанное двумя или более цифрами, например 243 или 4 206. Однозначный множитель — число из одной цифры, на которое умножают многозначное число. Такое умножение удобно для вычислений с одинаковыми группами предметов или величин. Знание названий помогает понять, какую роль играет каждый множитель.
Письменный способ умножения — запись вычисления столбиком, при которой множители располагают один под другим, а единицы ставят под единицами. Так цифры соседних разрядов не смешиваются, и результат можно записывать по мере вычисления. Этот способ особенно полезен, когда устный счёт становится громоздким. Разряды при записи должны оставаться на своих местах.
Неполным произведением называют результат умножения одной цифры многозначного числа на однозначный множитель при обработке соответствующего разряда. Например, при умножении 243 на 2 сначала получают 3 · 2, затем 4 · 2 и 2 · 2. Если в разряде есть перенос, его учитывают вместе с очередным произведением. Это понятие помогает следить за каждым шагом столбика.
Перенос единиц разряда — передача десятков, полученных в одном разряде, в следующий, более крупный разряд. Например, 8 единиц, умноженные на 7, дают 56 единиц: 6 единиц записывают, а 5 десятков учитывают при вычислении десятков. Так сохраняется значение результата, ведь 10 единиц составляют 1 десяток, а 10 десятков — 1 сотню. Без переноса итоговое число окажется неверным.
Многозначное число можно представить суммой разрядных слагаемых. Например, 243 = 200 + 40 + 3, поэтому 243 · 2 = 200 · 2 + 40 · 2 + 3 · 2. Такой способ опирается на распределительное свойство умножения: множитель умножается на каждое слагаемое, а результаты складываются. Он объясняет, почему столбик работает, даже если не выписывать всю сумму.
В столбике единицы записывают под единицами, десятки — под десятками, и так далее. Вычисление начинают справа, с единиц: тогда каждую полученную цифру можно поставить сразу под соответствующим разрядом. Если начать с более крупного разряда, итоговые цифры пришлось бы оставлять незаписанными до завершения вычисления. Движение справа налево позволяет учитывать перенос по мере его появления.
При умножении очередной цифры иногда получается двузначное число. Его единицы остаются в обрабатываемом разряде, а десятки не помещаются в нём и становятся единицами следующего разряда. Поэтому десятки записывают как перенос и прибавляют к произведению следующей цифры. Например, если при умножении единиц вышло 56, записывают 6, а 5 десятков прибавляют к результату умножения цифры десятков.
В каком-то разряде произведение цифры на множитель может быть равно нулю. Например, при умножении цифры 0 получается 0, но перенос из предыдущего разряда способен изменить результат этого шага. Поэтому ноль в исходном числе не вычёркивают и не пропускают: он обозначает разряд, который занимает своё место в записи. Если переноса нет, в ответе на этом месте записывают 0.
Вычисление можно проверить обратным действием: разделить произведение на однозначный множитель и получить исходное число. Деление подходит, если множитель не равен нулю и деление выполняется без остатка. Дополнительная проверка — оценить порядок ответа: округлить многозначное число до удобного и примерно умножить его. Такая оценка помогает заметить ошибку в разряде, даже если точное деление ещё не выполнено.
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: сначала выровняй числа по разрядам, затем переходи от единиц влево. В графе «Что записать» указано, где окажется цифра результата и что делать с переносом. Последний перенос, если он остался после обработки старшего разряда, становится новой цифрой ответа.
| Шаг | Действие | Что записать |
|---|---|---|
| Подготовка записи | Записать множители столбиком, единицы под единицами. | Многозначное число сверху, однозначный множитель снизу. |
| Умножение разряда единиц | Умножить цифру единиц на множитель. | Цифру единиц произведения; десятки перенести. |
| Умножение разряда десятков и учёт переноса | Умножить цифру десятков и прибавить перенос. | Цифру десятков; сотни перенести дальше. |
| Умножение следующих разрядов | Умножать каждую следующую цифру слева направо, прибавляя перенос. | Цифры соответствующих разрядов; новый перенос, если он есть. |
| Запись последней цифры результата | Обработать старший разряд и учесть оставшийся перенос. | Последнюю цифру или перенос перед ней. |
Здесь можно пройти по разрядам без переносов: каждое произведение цифры на 2 не превышает 9. Начинаем с единиц, чтобы сразу записывать цифры ответа на правильные места. Затем последовательно обрабатываем десятки и сотни. Такая задача показывает основной порядок действий.
Ответ: 486. Проверка: 486 : 2 = 243, значит, результат согласуется с исходным числом.
В этом примере важно переносить десятки, которые не помещаются в разряде. Начинаем с единиц, а каждый перенос сразу прибавляем к произведению следующей цифры. Если забыть эту добавку, цифры ответа будут неверными. Поэтому перенос удобно мысленно отмечать над следующим разрядом.
Ответ: 2 702. Проверка делением: 2 702 : 7 = 386.
Ноль в записи числа сохраняет место десятков, поэтому пропускать его нельзя. На каждом шаге сначала учитываем перенос, а затем записываем результат в нужный разряд. В старшем разряде перенос может дать дополнительную цифру слева. После вычисления проверим ответ делением.
Ответ: 33 648. Проверка: 33 648 : 8 = 4 206; оценка тоже подходит, так как 4 206 · 8 немного больше 4 000 · 8 = 32 000.
Если цифры результата записаны не под теми разрядами, число может измениться в несколько раз. Обычно это происходит, когда вычисление начинают не с единиц или теряют место цифры при переходе влево. Проверь столбик: единицы результата должны находиться под единицами исходного числа. Полезно отдельно проговаривать название разряда перед записью каждой цифры.
Забытый перенос уменьшает результат, а пропущенная прибавка к следующему произведению даёт неверную цифру в соседнем разряде. Такую ошибку допускают, когда сосредоточены только на таблице умножения. После каждого шага проверь, остались ли десятки для переноса, и прибавь их к следующему произведению. Проверка делением часто обнаруживает пропуск.
Перенос нельзя записывать как отдельную цифру ответа рядом с текущей цифрой. Он обозначает единицы следующего разряда, поэтому должен участвовать в следующем умножении. Ошибка возникает, если воспринимать перенос как готовую часть результата. Чтобы проверить себя, сравни каждое действие с правилом: сначала умножение очередной цифры, затем прибавление переноса.
Пропуск нуля внутри многозначного числа сдвигает цифры и меняет разрядный состав ответа. Это случается, если считать, что ноль ничего не значит, и не сохранять его место. Выполняй действия строго по каждой цифре исходного числа, включая ноль, и следи за разрядами в записи. Для проверки раздели ответ на множитель: при правильном вычислении получится исходное число с тем же нулём.
Для уверенного умножения нужно понимать разрядный состав числа: знать, чем единицы отличаются от десятков и сотен. Также пригодятся таблица умножения и сложение многозначных чисел, потому что перенос прибавляется к очередному произведению. Эти знания объясняют не только порядок действий, но и смысл записи столбиком. Если они вызывают затруднение, полезно повторить их до решения сложных примеров.
Письменное умножение помогает считать в текстовых задачах, когда нужно найти общую стоимость, расстояние или количество одинаковых групп. Этот же навык понадобится при умножении многозначных чисел. Обратное действие — деление — служит способом проверки результата. Умение оценивать ответ помогает заметить ошибку ещё до проверки точным вычислением.
Почему письменное умножение начинают с разряда единиц?
Так удобнее сразу записать цифру единиц произведения на её место. Если при умножении получаются десятки, их можно перенести в следующий разряд и прибавить к следующему произведению.
Что делать, если произведение цифры на множитель больше 9?
Запиши в текущем разряде цифру единиц полученного числа. Его десятки перенеси к следующему разряду и прибавь при умножении следующей цифры.
Куда записывать десятки, полученные при умножении?
Их не записывают отдельной цифрой в ответе: десятки переносят в следующий разряд. Там их прибавляют к произведению следующей цифры и множителя.
Как учитывать ноль внутри многозначного числа?
Ноль сохраняет место разряда, поэтому пропускать его нельзя. Умножь его на множитель и прибавь перенос из предыдущего разряда, если он есть; полученную цифру запиши на месте нуля.
Как проверить умножение многозначного числа на однозначное?
Можно разделить полученное произведение на однозначный множитель: должно получиться исходное число. Также оцени порядок результата и сравни его с ответом: например, произведение 4 206 · 8 должно быть примерно 32 000.
Умножение многозначного числа на однозначное
