Умножение «круглого» числа на однозначное

Определения и обозначения

Круглое число — натуральное число, запись которого оканчивается одним или несколькими нулями. Примеры: 20, 500, 8000. Это определение помогает сразу увидеть, сколько нулей нужно сохранить при вычислении.

Однозначное число — число, для записи которого используется одна цифра: от 0 до 9. В примерах множителем может быть, например, 3, 6 или 8. Знание таблицы умножения позволяет быстро найти произведение ненулевой части и этого множителя.

Разрядная единица — число, состоящее из единицы и одного или нескольких нулей: 10, 100, 1000. Она показывает, в каком разряде находится ненулевая часть числа. Благодаря ей круглое число можно представить как произведение, например 400 = 4 · 100.

Умножение круглого числа на однозначное — приём, при котором ненулевую часть круглого числа умножают на однозначный множитель, а затем приписывают нули. Например, в примере 600 · 7 сначала вычисляют 6 · 7, а потом добавляют два нуля. Такой способ сокращает запись и помогает не ошибиться в разрядах.

Как это устроено

Круглое число можно представить как произведение ненулевой части и разрядной единицы. Например, 40 = 4 · 10, а 300 = 3 · 100. Это возможно потому, что ноль в конце записи показывает умножение на 10, а два нуля — умножение на 100.

При умножении круглого числа на однозначное сначала умножают его ненулевую часть. Так, в выражении 300 · 4 временно заменяют 300 на 3 · 100 и получают действие 3 · 4. Такой порядок удобен, потому что таблица умножения нужна только для одной цифры, а нули пока не мешают вычислению.

Нули сохраняются благодаря сочетательному свойству умножения. Например, (3 · 100) · 4 можно сгруппировать иначе: (3 · 4) · 100. Получается 12 · 100 = 1200, поэтому два нуля разрядной единицы переходят в конец ответа.

Если результат умножения ненулевой части не оканчивается дополнительным нулём, в ответе будет столько же нулей, сколько было в круглом числе. Например, в 700 · 6 число 7 умножают на 6 и приписывают два нуля: 4200. Но промежуточный результат может сам закончиться нулём: 2 · 5 = 10, поэтому 20 · 5 = 100 содержит уже два нуля.

При умножении на 0 действует особое общее правило: произведение любого числа на ноль равно нулю. Поэтому не нужно переносить нули исходного числа в запись ответа. Например, 600 · 0 = 0, потому что ноль раз добавляет число к самому себе.

Умножение круглого числа на однозначное

Сначала определите, сколько нулей находится в исходном круглом числе. Затем найдите произведение его ненулевой части и множителя, кроме случая умножения на ноль. После этого добавьте нужные нули и проверьте разрядность ответа.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить: 30 · 4. Число 30 содержит один ноль, поэтому его удобно заменить произведением 3 · 10. Сначала выполняем простое умножение цифр, затем возвращаем разрядную единицу.

1. Представим круглое число: 30 = 3 · 10.
2. Умножим ненулевую часть на множитель: 3 · 4 = 12.
3. Припишем один ноль: 12 · 10 = 120.

Ответ: 120.

Задача 2. Вычислить: 700 · 6. В числе 700 два нуля, а ненулевая часть равна 7. Поэтому нужно найти 7 · 6 и сохранить два нуля, то есть умножить полученный результат на 100.

1. Запишем разложение: 700 = 7 · 100.
2. Выполним умножение: 7 · 6 = 42.
3. Припишем два нуля: 42 · 100 = 4200.

Ответ: 4200.

Задача 3. Вычислить удобным способом: 400 · 8 + 200 · 3. Сначала вычислим каждое произведение отдельно, не смешивая количество нулей в разных слагаемых. Затем сложим результаты и проверим, соответствует ли ответ ожидаемому числу.

1. 400 · 8 = 4 · 8 · 100 = 3200.
2. 200 · 3 = 2 · 3 · 100 = 600.
3. Сложим произведения: 3200 + 600 = 3800.

Ответ: 3800. Проверка по разрядам показывает, что к четырём сотням, взятым восемь раз, добавили шесть сотен.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Ученик пытается отдельно умножать цифры вместе с нулями, потому что не выделяет ненулевую часть числа. Нули не являются отдельными множителями в обычной записи, поэтому такой способ искажает результат. Проверьте себя: замените круглое число произведением числа и 10, 100 или 1000.

Ошибка 2. К ответу приписывают лишний или недостающий ноль. Обычно это происходит, когда не пересчитывают нули в исходном числе. Перед записью ответа отметьте их количество и сравните с количеством сохранённых нулей.

Ошибка 3. Не учитывают ноль, который появился после умножения ненулевой части: например, считают, что 20 · 5 = 10. Такая ошибка возникает из-за механического приписывания нулей. Выполните проверку через разложение: 20 · 5 = 2 · 5 · 10 = 100.

Ошибка 4. При умножении на ноль оставляют исходное число. Так путают умножение на 0 с умножением на 1. Проверьте правило: любое число, взятое ноль раз, даёт произведение 0.

Связь с другими темами

До изучения приёма нужно знать таблицу умножения, состав круглых чисел и правила умножения на 10, 100 и 1000. Эти знания позволяют представить 40 как 4 · 10, а 600 как 6 · 100.

Тема опирается на сочетательное свойство умножения и разрядный состав числа. Позже тот же приём пригодится при письменном умножении многозначных чисел, решении текстовых задач и выполнении вычислений с разными слагаемыми.

Что запомнить

• Круглое число оканчивается нулём или несколькими нулями.
• Сначала умножают ненулевую часть круглого числа.
• Затем к результату приписывают нули исходного круглого числа.
• 30 · 4 можно заменить вычислением 3 · 4 · 10.
• При умножении на 0 получается 0.
• Если промежуточный результат заканчивается нулём, все нули нужно сохранить.