"Математика", Чекин А.Л.
Вычисления столбиком помогают выполнять действия с многозначными числами, не теряя из виду единицы, десятки, сотни и другие разряды. Числа записывают одно под другим, а затем действуют поразрядно: складывают, вычитают или находят частичные произведения и цифры частного. При сложении делают перенос, при вычитании — размен старшего разряда. Главное — правильно выровнять числа и проверять ответ обратным действием.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сложение столбиком — запись слагаемых одно под другим так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли в одном столбце. Складывают справа налево, по очереди соединяя единицы с единицами, десятки с десятками и так далее. Если в разряде получилось 10 или больше, десяток переносят в следующий столбец. Такая запись помогает не перепутать разряды и выполнить действие аккуратно.
Вычитание столбиком — запись уменьшаемого и вычитаемого по разрядам друг под другом. Вычитание начинают с младшего разряда и двигаются влево. Если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, занимают единицу старшего разряда. Это позволяет продолжить вычисление, не меняя значения уменьшаемого числа.
Умножение столбиком — запись множителей один под другим, при которой находят произведения по отдельным цифрам второго множителя. Полученные числа называют частичными произведениями. Их располагают с учётом того, обозначает ли цифра единицы, десятки или сотни, а затем складывают. Так длинное умножение превращается в несколько более простых действий.
Деление столбиком — запись делимого и делителя, при которой цифры частного находят последовательно. На каждом шаге выбирают часть делимого, подбирают цифру частного, умножают её на делитель и вычитают полученное произведение. Затем рассматривают следующую цифру делимого. Такая запись помогает контролировать каждый шаг и остаток.
Число состоит из разрядов: например, в числе 348 единицы обозначены цифрой 8, десятки — цифрой 4, сотни — цифрой 3. Поэтому при записи столбиком числа выравнивают справа: так единицы попадают в один столбец, десятки — в другой. Если сложить или вычесть цифры из разных столбцов, будут смешаны разные количества. Выравнивание делает каждый шаг действия понятным и сохраняет разрядный состав чисел.
При сложении в одном разряде могут оказаться, например, 8 единиц и ещё 7 единиц. Их сумма равна 15: пять единиц остаются в разряде единиц, а десять единиц образуют один десяток. Поэтому в следующем разряде записывают переносимую единицу и прибавляют её к десяткам. Перенос возникает не по условному правилу, а потому, что десять единиц равны одной единице следующего разряда.
При вычитании иногда нужно отнять от меньшей цифры большую, например 3 единицы от 2 единиц. Тогда одну единицу соседнего старшего разряда разменивают на десять единиц младшего. Значение числа не меняется: один десяток и несколько единиц равны десяти единицам и тому же количеству единиц. Если старший разряд отделён нулями, размен продолжают через них: каждый такой ноль после передачи единицы становится девяткой.
При умножении многозначного числа на другое многозначное число учитывают, что каждая цифра второго множителя имеет своё разрядное значение. Сначала умножают первый множитель на цифру единиц, затем — на цифру десятков и далее, если она есть. Произведение при умножении на десятки сдвигают на один разряд, потому что это не просто число десятков, а несколько десятков. После этого частичные произведения складывают, получая общий результат.
При делении частное находят по одной цифре, чтобы не пытаться сразу выполнить большое действие. Сначала выбирают слева такую часть делимого, которая не меньше делителя, и определяют, сколько раз делитель в неё помещается. Это число становится цифрой частного; его умножают на делитель и вычитают результат из выбранной части. К остатку приписывают следующую цифру делимого и повторяют шаг, проверяя, что остаток меньше делителя.
| Действие | Как записать | Основной шаг | Как проверить |
|---|---|---|---|
| Сложение | Слагаемые выровнять по разрядам | Складывать справа налево, перенося десяток | Вычесть одно слагаемое из суммы |
| Вычитание | Уменьшаемое записать над вычитаемым | Вычитать справа налево, при необходимости разменять разряд | Прибавить разность к вычитаемому |
| Умножение | Множители записать друг под другом | Найти и сложить частичные произведения | Разделить произведение на один из множителей |
| Деление | Делимое и делитель расположить для последовательного поиска частного | Подобрать цифру, умножить и вычесть | Частное умножить на делитель и прибавить остаток |
Сначала найди в таблице нужное действие и проверь, как расположить числа. Затем выполняй основной шаг, внимательно отслеживая переносы, размены и разряды. После вычисления используй указанное обратное действие: оно помогает обнаружить ошибку.
Задача 1. Вычислите 3487 + 2658 и проверьте результат вычитанием. Запишем числа так, чтобы единицы, десятки, сотни и тысячи оказались друг под другом. Начнём с единиц и будем переносить десяток, если сумма в разряде окажется больше 9. Проверка должна вернуть одно из исходных слагаемых.
Ответ: 6145. При проверке вычитанием получено исходное слагаемое 3487, поэтому вычисление согласуется с обратным действием.
Задача 2. Вычислите 7042 − 3865. Записываем числа по разрядам и начинаем с единиц. В уменьшаемом есть ноль в разряде десятков, поэтому для вычитания единиц придётся занять через него у сотен. Проследим, как меняются разряды при таком размене.
Ответ: 3177. При размене количество числа не менялось: сотни и тысячи только представлялись через единицы соседних младших разрядов. Особенно внимательно нужно было пройти через ноль в разряде десятков.
Задача 3. Вычислите 248 · 36 и 8748 : 36, проверив деление умножением. В первом действии каждую цифру множителя 36 нужно учесть с её разрядом. Во втором будем последовательно подбирать цифры частного и каждый раз вычитать произведение делителя на выбранную цифру. В конце проверим деление обратным действием.
Ответ: 248 · 36 = 8928; 8748 : 36 = 243. Проверка показывает, что частное, умноженное на делитель, точно равно делимому, потому что остатка нет.
Если числа записаны без выравнивания разрядов, единицы могут оказаться под десятками. Тогда вычисляются не те количества, даже если отдельные действия с цифрами выполнены правильно. Перед началом проверь, что последние цифры чисел стоят в одном столбце, а соответствующие разряды расположены друг под другом.
При сложении легко забыть перенос или прибавить его не к той цифре. Обычно это происходит, когда после вычисления разряда сразу переходят к следующему и не отмечают дополнительную единицу. Проверяй каждый столбец по порядку: записанная цифра остаётся в текущем разряде, а перенос добавляется к следующему слева.
При вычитании ошибочный размен чаще всего появляется, когда в уменьшаемом есть ноль. Можно забыть превратить его в 9 после передачи единицы или изменить не тот разряд. Следи за цепочкой размена слева направо и проверь, что исходное число сохраняется: например, 1 сотня действительно равна 10 десяткам.
В умножении частичное произведение иногда записывают без сдвига, хотя умножали на десятки. При делении другая опасность — поставить цифру частного, произведение которой больше выбранной части делимого. Подписывай разряд цифры множителя и перед вычитанием проверяй произведение. В делении убедись, что вычитаемое произведение не больше текущей части, а остаток меньше делителя.
Чтобы уверенно вычислять столбиком, нужно знать разрядный состав натуральных чисел: например, понимать, что 4 в числе 3487 означает четыре сотни. Также пригодятся таблица умножения и умение выполнять действия устно. Связь сложения с вычитанием, а умножения с делением позволяет не только проверить ответ, но и увидеть, как действия помогают друг другу.
Столбик полезен в задачах, где встречаются большие числа и устного счёта недостаточно. Он разбивает вычисление на короткие шаги и помогает найти место возможной ошибки. Обратная проверка показывает, согласуется ли результат с исходными данными задачи.
Почему числа при вычислении столбиком нужно выравнивать по разрядам?
Так единицы оказываются под единицами, десятки — под десятками, а сотни — под сотнями. Тогда цифры, которые обозначают одинаковое количество, складываются или вычитаются вместе. Если сдвинуть число, получится действие не с теми разрядами.
Что делать, если при вычитании в уменьшаемом стоит ноль?
Нужно найти ближайший слева ненулевой разряд и занять из него единицу. При переходе через ноль этот разряд превращается в 9, а следующий разряд справа получает 10 единиц. Например, в числе 7042 для вычитания единиц приходится занять через десятки и сотни.
Почему при умножении записывают несколько частичных произведений?
Каждая цифра второго множителя обозначает единицы, десятки, сотни или другой разряд. Поэтому при умножении на каждую такую цифру получается отдельное частичное произведение. Их записывают с учётом разрядов и складывают.
Как понять, какую цифру частного поставить при делении столбиком?
Выбирают наибольшую цифру, произведение которой на делитель не превосходит рассматриваемую часть делимого. Затем это произведение вычитают и к остатку приписывают следующую цифру делимого. Остаток должен быть меньше делителя.
Как проверить результат вычисления столбиком?
Сложение можно проверить вычитанием: из суммы вычесть одно слагаемое и получить другое. Вычитание проверяют сложением, а умножение — делением. Деление проверяют умножением частного на делитель; если есть остаток, его прибавляют к произведению.
Поупражняемся в вычислениях столбиком
