Умножение суммы на число

Определения и обозначения

Умножение суммы на число — действие, при котором каждое слагаемое суммы умножают на это число, а полученные произведения складывают. Например, 4(6 + 3) = 4 · 6 + 4 · 3. Это правило заменяет одно умножение суммы двумя более простыми умножениями.

Распределительное свойство умножения — правило a(b + c) = ab + ac, связывающее умножение с раскрытием скобок. Буквы обозначают любые числа, поэтому формула подходит для разных вычислений. Она показывает, как общий множитель распределяется между слагаемыми.

Слагаемое — каждое число или выражение, входящее в сумму и умножаемое на общий множитель. В записи 5(x + 2) слагаемые — x и 2, а общий множитель — 5. По слагаемым определяют, сколько отдельных произведений появится после раскрытия скобок.

Раскрытие скобок — преобразование произведения числа на сумму в сумму отдельных произведений. Так, 3(a + b) превращается в 3a + 3b. Это нужно, чтобы упростить выражение или выполнить вычисления по частям.

Как это устроено

Рассмотрим выражение a(b + c). Умножение на число a означает, что сумму b + c нужно взять a раз: (b + c) + (b + c) + ... . Если раскрыть это повторное сложение, сначала соберутся все копии b, а затем все копии c, поэтому получится ab + ac.

Именно поэтому формула a(b + c) = ab + ac не является отдельным приёмом без объяснения. Она следует из смысла умножения как сложения одинаковых слагаемых. Например, 3(4 + 2) — это три группы по 4 и по 2, то есть 3 · 4 + 3 · 2.

На отрезках можно представить сумму как два соседних участка длиной b и c, а общий множитель — как число одинаковых рядов таких участков. Длина каждого ряда равна b + c, а общая длина всех рядов складывается из частей ab и ac. Похожая модель получается с предметами: в каждой коробке b красных и c синих предметов, а коробок a.

Если слагаемых больше двух, рассуждение не меняется. В выражении a(b + c + d) общий множитель нужно применить к каждому члену: ab + ac + ad. При четырёх и более слагаемых записывают столько произведений, сколько слагаемых было в исходной сумме.

Свойство можно использовать и наоборот, потому что сложение произведений можно сгруппировать по общему множителю. В записи ab + ac множитель a встречается в каждом слагаемом, поэтому его выносят за скобки: a(b + c). Такой приём называют вынесением общего множителя и считают обратным раскрытию скобок.

Умножение суммы на число и раскрытие скобок

В таблице собраны основные случаи. Сначала определите общий множитель и посмотрите, сколько слагаемых находится в скобках. Затем умножьте его на каждый член суммы и выполните сложение.

Разбор задач

Задача 1

Условие: вычислить 7 · (30 + 4), используя распределительное свойство умножения. Нужно заменить умножение суммы двумя произведениями. Такой способ удобен, потому что оба вычисления выполняются легко.

1. Определяем слагаемые в скобках: 30 и 4, общий множитель — 7.
2. Умножаем 7 на каждое слагаемое: 7 · (30 + 4) = 7 · 30 + 7 · 4.
3. Складываем результаты: 210 + 28 = 238.

Ответ: 238.

Задача 2

Условие: упростить выражение 5 · (2x + 3) и найти его значение при x = 4. Сначала преобразуем буквенное выражение, а подстановку выполним после раскрытия скобок. Это уменьшает количество действий при вычислении.

1. Умножаем 5 на оба слагаемых: 5 · (2x + 3) = 5 · 2x + 5 · 3 = 10x + 15.
2. Подставляем x = 4: 10 · 4 + 15.
3. Выполняем вычисления: 40 + 15 = 55.

Ответ: упрощённое выражение — 10x + 15, его значение при x = 4 равно 55.

Задача 3

Условие: в трёх коробках лежит по (12 + 8) карандашей. Сколько карандашей всего? Решим двумя способами и сравним результаты. Важно увидеть, что в каждой коробке есть две отдельные группы карандашей.

1. Первый способ: сначала находим число карандашей в одной коробке, затем умножаем: 3 · (12 + 8) = 3 · 20 = 60.
2. Второй способ: отдельно считаем карандаши каждого вида во всех коробках: 3 · 12 + 3 · 8 = 36 + 24.
3. Складываем полученные количества: 36 + 24 = 60.

Ответ: 60 карандашей. Одинаковый результат подтверждает распределительное свойство.

Типичные ошибки

Умножают только первое слагаемое. В записи 4(a + b) иногда получают 4a + b, потому что забывают продолжить действие. Проверьте, что у каждого слагаемого есть множитель 4: правильный результат — 4a + 4b.

Пропускают общий множитель у второго слагаемого. Ошибка a(b + c) = ab + c возникает, когда скобки воспринимают как одно число, а затем механически дописывают вторую часть. Можно поставить стрелку от общего множителя к каждому слагаемому и убедиться, что получилось два произведения.

Неверно раскрывают скобки в длинной сумме. При трёх и более слагаемых иногда умножают число только на два первых члена. Пересчитайте слагаемые внутри скобок и проверьте, что столько же произведений появилось после преобразования.

Ошибаются в последующих вычислениях. Само раскрытие может быть верным, но затем неправильно выполняют умножение или сложение. Сначала отделите преобразование от вычислений, а затем сравните ответ с результатом прямого подсчёта исходного выражения.

Связь с другими темами

До изучения правила нужны смысл сложения и умножения, названия компонентов действий и порядок выполнения действий со скобками. Эти знания помогают распознать слагаемые, общий множитель и правильно читать запись. Без них легко перепутать части выражения.

Распределительное свойство применяется в устных и письменных вычислениях. С его помощью число можно разложить на удобные части, например 6 · 19 = 6 · (20 − 1), а сумму — на более простые произведения. Так вычисления становятся короче.

Дальше правило используется при раскрытии скобок и упрощении алгебраических выражений. Обратное действие, вынесение общего множителя, встречается при преобразовании выражений и решении текстовых задач. Поэтому навык связывает арифметику с алгеброй.

Что запомнить

• Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое.
• Полученные произведения складывают.
• Основная формула: a(b + c) = ab + ac.
• Правило распространяется на сумму любого числа слагаемых.
• Общий множитель можно не только распределять по сумме, но и выносить за скобки.
• Результат преобразования полезно проверять вычислением исходного и полученного выражений.