Деление круга и окружности на равные части

Определения и обозначения

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью, вместе со всеми точками внутри неё. Иначе говоря, круг — это и край, и внутренняя область, а не только линия. Это различие нужно, чтобы понимать, делим ли мы на части плоскую фигуру или только её границу.

Окружность — замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от одной точки — центра. Это расстояние называют радиусом. Окружность служит границей круга, а её точки можно отмечать, чтобы задать будущие части.

Центр круга и окружности — точка, равноудалённая от всех точек окружности; радиус — отрезок от центра до любой такой точки. Для построения удобно сначала найти или обозначить центр, поскольку от него проводят линии, делящие круг. Радиус также помогает сохранять одинаковое расстояние до окружности.

Равные части круга — части одинаковой величины, а равные части окружности — дуги одинаковой величины. Дугу получают как часть окружности между двумя её точками. Эти понятия нужны, чтобы отличать разделение плоской области от разметки её границы.

Как это устроено

Чтобы получить части именно круга, точки на окружности соединяют отрезками с центром. Два соседних радиуса и заключённая между ними дуга ограничивают сектор — часть круга, похожую на кусок пирога. Если проводить линии не из центра, получившиеся области обычно будут разными по форме и величине, даже если точки на краю распределены равномерно.

В центре полного круга помещается угол в 360°, то есть полный оборот. Когда круг нужно разделить на n одинаковых секторов, этот оборот распределяют поровну, поэтому величина одного центрального угла равна 360°/n. Например, при делении на 3 части получаем 360° : 3 = 120°, а при делении на 6 частей — 60°. Деление полного угла позволяет не гадать о размере частей, а сразу рассчитать его.

Центральные углы одинаковой величины стягивают равные дуги одной и той же окружности. Причина в том, что все дуги отсчитываются на одинаковом расстоянии от центра, а одинаковый поворот радиуса проходит одинаковую часть окружности. Поэтому, если лучи из центра делят полный угол поровну, они одновременно делят окружность на равные дуги.

Для построения сначала вычисляют величину центрального угла, а затем отмечают на окружности точки, соответствующие его последовательным поворотам. После этого каждую точку соединяют с центром, чтобы границы дуг стали границами секторов. При проверке полезно убедиться, что получилось нужное число промежутков, а последний радиус замыкает деление без лишнего или недостающего сектора.

Некоторые деления легко выполнить последовательным построением уже известных углов. Один диаметр делит круг пополам, два перпендикулярных диаметра дают четыре части, а биссектрисы прямых углов позволяют получить восемь частей. Биссектриса — луч, который делит угол на два равных угла. Для других чисел, например 3 или 6, используют транспортир либо построение соответствующих углов известными геометрическими способами.

Деление круга и окружности на равные части

В таблице число частей связано с величиной угла по правилу 360°/n. Выберите нужное число и выполните указанное построение, затем соедините точки деления окружности с центром. Последний столбец помогает проверить, что разметка круга дала равные дуги на его границе.

Разбор задач

Разделите круг на 4 равные части.

Нужно получить четыре сектора одинаковой величины. Сначала найдём угол одного сектора: 360° : 4 = 90°. Значит, из центра должны выходить границы, между которыми образуются прямые углы.

1. Отметьте центр круга и проведите через него прямую линию до пересечения с окружностью с двух сторон. Получится диаметр, который разделит круг на две половины.
2. Через тот же центр проведите второй диаметр перпендикулярно первому. Перпендикулярные диаметры образуют четыре угла по 90°.
3. Проверьте, что линии пересекаются в центре и что каждый из четырёх секторов имеет угол 90°. Поэтому секторы равны.

Ответ: круг разделён на 4 равные части двумя взаимно перпендикулярными диаметрами. Окружность при этом разделена на 4 равные дуги.

Разделите окружность на 6 равных дуг и круг — на 6 равных секторов.

Чтобы найти величину каждого угла, разделим полный оборот на число частей: 360° : 6 = 60°. Поэтому соседние радиусы должны образовывать угол 60°. Равные углы дадут равные дуги, а соединение точек деления с центром создаст секторы.

1. Отметьте центр окружности и с помощью транспортира постройте от него первый луч. Отложите следующий луч так, чтобы угол между ними составлял 60°.
2. Последовательно постройте остальные лучи, каждый раз откладывая от предыдущего угол 60°. После шести углов полный круг вокруг центра составит 360°.
3. Отметьте точки пересечения лучей с окружностью. Проверьте, что соседние точки разделяют её на шесть дуг, затем соедините каждую точку с центром.

Ответ: окружность разделена на 6 равных дуг, а круг — на 6 равных секторов с центральными углами по 60°.

Разметьте круг на 8 равных секторов, используя уже построенное деление на 4 части.

Четыре равные части уже образуют в центре углы по 90°. Чтобы получить восемь частей, каждый из этих углов нужно разделить на две равные части. Половина от 90° равна 45°, значит, новые радиусы должны делить прежние углы пополам.

1. Найдите биссектрису каждого из четырёх прямых углов. Если используете транспортир, отметьте направление на расстоянии 45° от одной из сторон угла.
2. Проведите из центра дополнительные радиусы через отмеченные направления до пересечения с окружностью. Каждый прежний сектор теперь разделён на два.
3. Подсчитайте получившиеся промежутки и проверьте величину центрального угла каждого из них. Должно получиться восемь секторов по 45°.

Ответ: добавьте четыре радиуса-биссектрисы; круг будет разделён на 8 равных секторов, а окружность — на 8 равных дуг.

Типичные ошибки

Если разделить только окружность отметками, но не соединить их с центром, получится разметка границы, а не секторы круга. Так ошибаются, потому что принимают слова «разделить круг» и «разделить окружность» за одно и то же. Проверьте себя: у каждого сектора должны быть две стороны-радиуса, сходящиеся в центре.

Угол 360°/n иногда откладывают не от центра. Тогда его вершина не совпадает с центром круга, и он не показывает долю полного оборота. Перед построением проверьте, что вершина каждого центрального угла расположена в центре, а его стороны идут к окружности.

Можно ошибиться, сосчитав радиусы или диаметры вместо секторов. Например, четыре радиуса, выходящие из центра, не всегда означают четыре части: некоторые из них могут лежать на одной прямой, а значит, образовать меньше промежутков. Считайте области между соседними линиями и убедитесь, что их число совпадает с заданным.

Части, которые выглядят примерно одинаковыми, не обязательно равны. Ошибка возникает из-за оценки на глаз, особенно если линии проведены неточно. Измерьте центральные углы и сравните их; для дуг проверьте, что им соответствуют равные углы. Равные углы при одинаковых радиусах дают равные секторы.

Связь с другими темами

Для деления круга нужны знания о круге, окружности, центре и радиусе, а также умение пользоваться транспортиром и строить углы. Эти навыки помогают точно выполнять геометрические построения и проверять результат измерением. Если вы уже умеете делить прямой угол пополам, это можно использовать для деления круга на восемь частей.

Разбиение круга встречается при построении многоугольников, создании чертежей и моделей. Оно также помогает понимать доли целого: например, один из четырёх равных секторов соответствует четверти круга. На этом основаны круговые диаграммы, где части показывают доли от общей величины.

Что запомнить

• Круг — область внутри окружности, а окружность — её граница.
• Секторы получаются, когда точки деления окружности соединяют с центром.
• Полный угол вокруг центра равен 360°.
• При делении на n равных частей центральный угол равен 360°/n.
• Равные центральные углы соответствуют равным дугам.
• Радиусы, проведённые к точкам равного деления окружности, образуют равные секторы.