1.21. Арифметические действия над числами

Определения и обозначения

Сумма — результат сложения; числа, которые складывают, называют слагаемыми. Например, в записи 8 + 5 = 13 числа 8 и 5 — слагаемые, а 13 — сумма. Это название помогает точно говорить о частях действия и находить неизвестное слагаемое.

Разность — результат вычитания. В записи 14 − 6 = 8 число 14 называют уменьшаемым, число 6 — вычитаемым, а 8 — разностью: уменьшаемое минус вычитаемое равно разности. Эти названия подсказывают, какое число уменьшают и какое нужно вычесть.

Произведение — результат умножения, а числа, которые перемножают, называются множителями. Например, в равенстве 4 · 3 = 12 множители — 4 и 3, произведение — 12. Такое обозначение удобно, когда нужно представить сложение одинаковых слагаемых более короткой записью.

Частное — результат деления: делимое делят на делитель. В записи 20 : 4 = 5 число 20 — делимое, 4 — делитель, 5 — частное. Делитель не может быть равен нулю, потому что деление на ноль не определено.

Как это устроено

Сложение и вычитание — взаимно обратные действия. Если известно, что 7 + 5 = 12, то вычитанием можно восстановить любой пропущенный компонент: 12 − 7 = 5. Поэтому, чтобы найти неизвестное слагаемое, из суммы вычитают известное слагаемое. Этим же свойством проверяют разность: к ней прибавляют вычитаемое и сравнивают результат с уменьшаемым.

Умножение можно понимать как сложение одинаковых слагаемых: 4 · 3 означает 4 + 4 + 4. Такое понимание объясняет, почему умножение удобно для повторяющихся одинаковых групп. Деление связано с ним обратным образом: разделить 12 на 3 — значит найти число, которое при умножении на 3 даёт 12. Поэтому деление проверяют умножением частного на делитель.

Для положительных и отрицательных чисел правила сложения отличаются от правил умножения и деления. При сложении чисел с одинаковыми знаками складывают модули и сохраняют общий знак; с разными знаками вычитают меньший модуль из большего и берут знак числа с большим модулем. При умножении и делении учитывают только сочетание знаков: одинаковые знаки дают положительный результат, разные — отрицательный. Это различие нужно помнить, чтобы не переносить правило одного действия на другое.

Переместительный закон позволяет менять местами слагаемые или множители, а сочетательный — объединять их в удобные группы: сумма и произведение от этого не меняются. Распределительный закон связывает умножение со сложением и вычитанием: общий множитель можно вынести за скобки или, наоборот, умножить на каждое слагаемое внутри них. Благодаря этим законам выражение часто можно упростить до вычисления. В вычитании и делении менять местами числа или группировать их произвольно нельзя.

Порядок действий нужен, чтобы выражение вычисляли одинаково и результат не зависел от догадки. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Если действия имеют одинаковую ступень, их выполняют слева направо: например, деление перед последующим умножением не имеет особого преимущества. Скобки могут изменить порядок, поэтому сначала внимательно определяют, какие части выражения они объединяют.

Арифметические действия и их свойства

Сначала определите, какое действие записано, а затем выберите подходящее свойство или обратное действие. Законы перестановки и группировки особенно полезны, когда можно составить удобные пары или вынести общий множитель. Перед делением обязательно проверьте, что делитель не равен нулю.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 27 − 39 и проверьте результат обратным действием.

1. Вычитание можно заменить сложением противоположного числа: 27 − 39 = 27 + (−39). Противоположное число к 39 — это −39.
2. Слагаемые имеют разные знаки, поэтому сравниваем модули: 39 больше 27. Вычитаем меньший модуль из большего: 39 − 27 = 12, и ставим знак числа с большим модулем, то есть минус.
3. Получаем 27 + (−39) = −12. Для проверки прибавляем вычитаемое: −12 + 39 = 27, как и должно быть.

Ответ: −12. Проверка подтвердила, что разность найдена верно.

Задача 2. Вычислите −18 : 3 + 2 · (−4).

1. Сначала проверяем порядок действий. Скобки уже содержат число −4; после них выполняем деление и умножение, а сложение — в конце.
2. Вычисляем деление: −18 : 3 = −6. Знаки разные, поэтому частное отрицательное.
3. Вычисляем умножение: 2 · (−4) = −8. Множители имеют разные знаки, значит произведение отрицательное.
4. Складываем полученные числа: −6 + (−8) = −14. При сложении отрицательных чисел складываем модули и оставляем знак минус.

Ответ: −14. Мы не складывали исходные числа сразу, потому что умножение и деление выполняются раньше сложения.

Задача 3. Вычислите удобным способом 25 · 16 − 25 · 6.

1. В обоих слагаемых есть множитель 25. Если вычислять произведения отдельно, придётся выполнить два умножения, поэтому ищем способ сократить вычисления.
2. По распределительному закону общий множитель выносим за скобки: 25 · 16 − 25 · 6 = 25 · (16 − 6). При вычитании внутри скобок знак минус сохраняется.
3. Сначала вычисляем в скобках: 16 − 6 = 10. Затем умножаем: 25 · 10 = 250.

Ответ: 250. Проверить его можно исходным способом: 25 · 16 = 400, 25 · 6 = 150, а 400 − 150 = 250.

Типичные ошибки

При сложении чисел с разными знаками иногда складывают их модули и выбирают знак наугад. Так делают, перенося правило сложения чисел с одинаковыми знаками. Нужно вычесть меньший модуль из большего и поставить знак числа с большим модулем. Для самопроверки оцените, какое из чисел по модулю сильнее влияет на результат.

Другая ошибка — применять при сложении правило знаков для умножения. У чисел −3 и 5 произведение отрицательное, но сумма −3 + 5 положительна: здесь сравнивают модули, а не просто смотрят на знаки. Путаница возникает потому, что в обоих случаях встречаются положительные и отрицательные числа. Проверьте себя: сначала назовите действие, а затем выберите правило именно для него.

Если в выражении есть сложение и умножение, можно по привычке начать со сложения. Это меняет значение выражения, потому что умножение выполняют раньше сложения, если скобки не задают иной порядок. Перед вычислением отметьте скобки и действия каждой ступени. Полезно записывать промежуточные результаты, не пропуская порядок слева направо для действий одного уровня.

Нельзя делить на ноль; также неверно утверждать, что ноль можно делить на любое число. Деление 0 : a равно 0 только при a ≠ 0, а запись a : 0 не имеет значения. Ошибку допускают, принимая ноль за обычный делитель или забывая проверить условие. Перед делением посмотрите на делитель: он должен быть ненулевым.

Связь с другими темами

Для уверенной работы с арифметическими действиями нужны знакомые правила сложения, вычитания, умножения и деления, в том числе дробей и чисел разных знаков. Свойства действий помогают упрощать выражения и решать уравнения: неизвестное можно находить с помощью обратного действия. Умение соблюдать порядок вычислений понадобится в задачах на проценты и пропорции, а также при преобразовании формул. Поэтому полезно не только помнить правила, но и понимать, почему они работают.

Что запомнить

• Вычитание проверяют сложением, деление — умножением.
• На ноль делить нельзя.
• При умножении и делении одинаковые знаки дают положительный результат, разные — отрицательный.
• При сложении чисел с разными знаками сравнивают их модули.
• Умножение распределяется относительно сложения и вычитания.
• Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, потом сложение и вычитание.