"Математика", Чекин А.Л.
Разделить разность на число можно двумя способами: сначала выполнить вычитание, а потом деление или отдельно разделить уменьшаемое и вычитаемое, затем вычесть частные. Второй способ часто упрощает вычисления, особенно если числа большие. Для его применения в натуральных числах оба члена разности должны делиться на делитель без остатка. Важно сохранять исходный порядок вычитания и проверять результат.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разность — результат вычитания одного числа из другого. В записи a − b число a называется уменьшаемым, а число b — вычитаемым. Эти названия помогают понять порядок действий: из уменьшаемого вычитают вычитаемое.
Деление разности на число — способ разделить разность, разделив на это число уменьшаемое и вычитаемое, а затем вычтя полученные частные. Например, в выражении (84 − 28) : 7 можно сначала поделить 84 и 28 на 7. Такой способ нужен, когда отдельные деления выполнить проще, чем сначала находить разность.
Делитель — число, на которое делят разность. В рассматриваемом правиле он должен делить без остатка оба члена разности, то есть и уменьшаемое, и вычитаемое. Проверка этого условия показывает, можно ли сразу применять правило в натуральных числах.
Частное — результат деления. В правиле получается разность двух частных: первое находят делением уменьшаемого на делитель, второе — делением вычитаемого на тот же делитель. Это уточнение помогает не перепутать, какие числа нужно вычитать и в каком порядке.
Правило записывают так: (a − b) : c = a : c − b : c, если a и b делятся на c без остатка. Здесь c — одно и то же число для обоих делений, а порядок чисел в разности не меняется. Равенство показывает, что деление можно перенести к каждому члену разности, сохранив вычитание между ними.
Представь a предметов, из которых убрали b предметов, а оставшиеся распределили поровну между c группами. Можно сначала найти оставшееся количество a − b, а потом узнать, сколько предметов приходится на одну группу. Если и a, и b распределить между теми же c группами поровну, количество предметов в группе для остатка получится как разность двух групповых количеств: a : c − b : c. Поэтому оба способа дают один результат.
Правило упрощает вычисления, когда уменьшаемое и вычитаемое легко разделить на делитель. Вместо того чтобы сначала получать большую разность, можно выполнить два более удобных деления и вычесть частные. Например, это полезно, если оба числа оканчиваются нулём или делятся на делитель по таблице умножения.
При работе с натуральными числами нужно проверить, делятся ли без остатка оба числа в разности. Если делится только одно, записать его частное и применить правило к другому члену так же нельзя: в натуральных числах не получится нужного частного без остатка. В таком случае можно сначала найти разность, а затем выяснить, делится ли уже она на заданное число.
Порядок действий можно выбрать по удобству. Сначала допустимо вычислить разность, а затем разделить её на делитель; если условие правила выполнено, можно сначала разделить уменьшаемое и вычитаемое и вычесть частные. При выборе полезно оценить, какой путь даст меньше вычислений, но нельзя менять местами уменьшаемое и вычитаемое.
| Что рассматриваем | Как записать или выполнить |
|---|---|
| Правило | (a − b) : c = a : c − b : c |
| Условие применения | a и b делятся на c без остатка |
| Порядок действий | Разделить уменьшаемое и вычитаемое на c, затем вычесть частные |
| Проверка результата | Вычислить (a − b) : c и сравнить с разностью частных |
Сначала найди в строке «Условие применения», можно ли делить оба члена разности без остатка. Затем используй строку «Порядок действий», сохраняя исходный порядок вычитания. Для проверки сравни результат с вычислением, выполненным по выражению в последней строке.
Уменьшаемое 84 и вычитаемое 28 делятся на 7 без остатка, поэтому можно применить правило. Так вычисления станут короче: вместо большой разности найдём два частных. Затем сохраним порядок вычитания.
Ответ: 8. Проверка: 84 − 28 = 56, а 56 : 7 = 8.
Нужно выбрать порядок, при котором вычисления проще. Оба числа делятся на 9 без остатка, поэтому правило подходит. Разделим каждый член разности на 9, а полученные числа вычтем.
Ответ: 40. Проверим другим способом: 720 − 360 = 360, а 360 : 9 = 40. Совпадение подтверждает вычисление.
Чтобы узнать разницу в числе мешков, найдём разность количеств муки и крупы и разделим её на массу одного мешка. Получится выражение (936 − 288) : 9. Оба количества делятся на 9 без остатка, значит, можно разделить их отдельно.
Ответ: мешков с мукой получилось на 72 больше. Чтобы проверить, найдём разность масс: 936 − 288 = 648 кг; 648 : 9 = 72 мешка.
Ошибка: разделить на делитель только один член разности. Так делают, если воспринимают правило как действие над одним удобным числом, но деление должно затронуть и уменьшаемое, и вычитаемое. Проверь запись: справа от знака равенства должны быть два частных, разделённые знаком вычитания.
Ошибка: применить правило, не проверив делимость обоих членов. Иногда деление одного числа нацело создаёт впечатление, что условие уже выполнено, но второго этого не гарантирует. Проверь отдельно оба деления; если одно не получается без остатка, вычисли сначала разность.
Ошибка: поменять порядок вычитания и получить отрицательный результат. Это случается, когда частные переставляют местами, забывая, что первое получено из уменьшаемого. Сверь их с исходной записью: из частного от уменьшаемого вычитают частное от вычитаемого.
Ошибка: перепутать деление разности с делением суммы или умножением. Причиной бывает невнимательное чтение знаков в выражении или попытка применить знакомое правило к другой операции. Перед вычислением перепиши скобки и проверь, что между частными стоит минус, а делитель один и тот же.
Для этой темы нужны смысл деления, названия компонентов вычитания, а также знание таблицы умножения и деления. Правило связано с распределительным свойством деления относительно вычитания: оно позволяет преобразовать выражение и выбрать удобный порядок вычислений. Поэтому его применяют при работе с большими числами и в задачах на сравнение количества равных групп. Например, можно найти, насколько отличается число мешков, если известны массы продуктов и масса одного мешка.
Как разделить разность на число?
Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число без остатка, раздели на него оба числа. Затем вычти второе полученное частное из первого: (a − b) : c = a : c − b : c.
Почему можно разделить на число оба члена разности?
Если обе величины разделить на одинаковое число равных групп, разность количеств в каждой группе показывает, сколько таких групп приходится на разность исходных величин. Поэтому результат совпадает с делением самой разности.
Обязательно ли оба числа в разности делить без остатка?
Для применения этого правила в натуральных числах — да. Если хотя бы одно число не делится без остатка, нельзя использовать запись с натуральными частными; сначала можно вычислить разность, а затем проверить делимость её результата.
Можно ли сначала найти разность, а потом разделить её?
Да, можно: сначала вычисли уменьшаемое минус вычитаемое, затем раздели полученный результат на делитель. Если оба числа разности делятся на него без остатка, разрешён и другой порядок действий.
Как проверить вычисление, выполненное по этому правилу?
Вычисли разность исходных чисел, а затем раздели её на делитель. Полученный результат должен совпасть с разностью частных; дополнительно умножь ответ на делитель — должно получиться исходное уменьшаемое минус вычитаемое.
Деление разности на число
