Поупражняемся в использовании свойств деления и повторим пройденное

Определения и обозначения

Деление суммы на число — это замена деления суммы делением каждого слагаемого на одно и то же число: (a + b) : c = a : c + b : c. Такое преобразование применяют, если каждое слагаемое делится на c нацело. Оно помогает разбить неудобное делимое на части, которые легко посчитать.

Деление разности на число означает, что разность можно разделить, отдельно разделив уменьшаемое и вычитаемое: (a − b) : c = a : c − b : c. Уменьшаемое — число, из которого вычитают, а вычитаемое — число, которое вычитают. Свойство удобно, когда оба числа делятся на c и их частные легко найти.

Деление числа на произведение — это последовательное деление числа на множители делителя: a : (b · c) = (a : b) : c. Например, вместо деления на 4 · 9 можно сначала разделить на 4, а затем на 9. Такой приём упрощает вычисления, если каждое промежуточное деление выполняется без остатка.

Деление с остатком записывают так: делимое = делитель · частное + остаток. Остаток должен быть неотрицательным и меньше делителя. Запись показывает, сколько полных групп удалось составить и сколько предметов осталось; по ней можно проверить результат деления.

Как это устроено

Почему сумму можно разделить по слагаемым? Каждое слагаемое — это часть общего количества, а деление на число показывает, сколько приходится на одну долю. Например, 84 : 7 можно представить как (70 + 14) : 7, потому что 84 состоит из 70 и 14. Получаем 70 : 7 + 14 : 7 = 10 + 2 = 12; проверка обеих частей даёт 84 : 7 = 12 и 10 + 2 = 12.

Деление разности удобно, когда оба числа разности делятся на делитель, а их частные легко вычислить. Например, 156 = 180 − 24, и оба числа делятся на 6, поэтому 156 : 6 = 180 : 6 − 24 : 6 = 30 − 4 = 26. Если одно число не делится нацело, нельзя безоговорочно записать разность целых частных: одно из таких частных не получится. Можно выбрать другое разложение либо выполнить деление обычным способом.

Деление на произведение получается из последовательного деления: разделить на b · c — значит разделить на b групп, а затем каждую часть разделить на c. Поэтому a : (b · c) = (a : b) : c, если выбранные действия допустимы. Например, 360 : (4 · 9) можно выполнить как 360 : 4 : 9, поскольку 360 : 4 = 90 и 90 : 9 = 10. Если первое промежуточное деление не выполняется нацело, попробуйте начать с другого множителя или вычислите произведение делителя.

Одно выражение иногда можно вычислить разными путями: сначала разделить делимое или сначала преобразовать его. Например, 84 : 7 можно найти непосредственно или разложить 84 на 70 и 14. Во втором способе нужно проверить, что обе части делятся на 7, иначе сумма частных может оказаться неудобной или нецелой. Для деления на произведение также можно сначала перемножить множители либо делить последовательно, если промежуточные действия выполнимы.

Свойства помогают выбрать короткий путь, а проверка показывает, не допущена ли ошибка. При делении без остатка умножьте частное на делитель: должно получиться делимое. При делении с остатком используйте равенство «делимое = делитель · частное + остаток» и отдельно проверьте, что остаток меньше делителя. Так проверяется не только вычисление, но и то, что ответ записан в допустимом виде.

Свойства деления и условия их применения

Сначала найдите в выражении сумму, разность или произведение в делителе, а затем проверьте условие в третьем столбце. Если условие не выполнено, используйте другой способ вычисления. Последний столбец показывает, как записать преобразование на конкретных числах.

Разбор задач

Вычислите 84 : 7, представив 84 как сумму 70 и 14.

Разложение удобно тем, что и 70, и 14 делятся на 7 нацело. Значит, можно применить деление суммы на число и найти два простых частных. После вычисления сложим их и проверим ответ умножением.

1. Представим делимое как сумму: 84 = 70 + 14.
2. Применим свойство: 84 : 7 = 70 : 7 + 14 : 7.
3. Вычислим частные: 70 : 7 = 10, 14 : 7 = 2, поэтому 10 + 2 = 12.
4. Проверим: 12 · 7 = 84.

Ответ: 12.

Вычислите 156 : 6, представив 156 как разность 180 и 24.

Проверим, можно ли разделить обе части разности на 6: 180 и 24 делятся нацело. Поэтому разность частных даст искомый результат. Важно сохранить порядок: сначала делим уменьшаемое, затем вычитаемое.

1. Запишем разложение: 156 = 180 − 24.
2. Разделим уменьшаемое и вычитаемое на 6: 156 : 6 = 180 : 6 − 24 : 6.
3. Вычислим: 30 − 4 = 26.
4. Проверим обратным действием: 26 · 6 = 156.

Ответ: 26.

Для школьной выставки 360 открыток поровну разложили в 4 коробки, а затем содержимое каждой коробки распределили поровну по 9 папкам. Сколько открыток в каждой папке?

Сначала открытки делят на четыре равные части, а потом каждую часть — ещё на девять. Поэтому общее число открыток делится последовательно на 4 и 9, то есть на произведение 4 · 9. Проверим, что оба действия выполняются нацело, и убедимся умножением, что все открытки учтены.

1. Найдём количество открыток в одной коробке: 360 : 4 = 90.
2. Распределим их по папкам: 90 : 9 = 10.
3. Проверим через произведение: 4 · 9 = 36, а 360 : 36 = 10.
4. Проверим распределение умножением: 10 · 9 · 4 = 360.

Ответ: в каждой папке 10 открыток.

Типичные ошибки

Делят сумму по слагаемым, не проверив, делятся ли они нацело. Ошибка возникает, когда правило запоминают без его условия: например, 15 : 4 нельзя представить как сумму целых частных 12 : 4 и 3 : 4. Проверьте делимость каждого слагаемого; если она не подходит, измените разложение или делите обычным способом.

При делении разности вычитают частные в обратном порядке. Обычно это происходит, когда забывают, какое число было уменьшаемым: для 180 − 24 нужно вычислить 180 : 6 − 24 : 6, а не наоборот. Сверьте порядок с исходной записью и проверьте частное умножением на делитель.

Деление на произведение считают возможным в любом порядке и при любых числах. Но последовательное действие может не дать целого частного, поэтому сначала проверьте промежуточные деления или начните с другого множителя. Затем сравните результат с вычислением через произведение делителя.

При делении с остатком получают остаток, равный делителю или больший него. Это означает, что в остатке ещё помещается хотя бы одна полная группа, которую нужно добавить к частному. Проверьте одновременно два условия: делимое равно произведению делителя и частного плюс остаток, а остаток меньше делителя.

Связь с другими темами

Чтобы применять свойства деления, нужно понимать, что показывает деление, знать таблицу умножения и деления и соблюдать порядок действий в выражениях. Таблица помогает быстро находить частные и проверять делимость чисел нацело. При разложении суммы или разности сначала выполняют выбранные вычисления внутри неё, а затем делят полученные части.

Эти свойства полезны при устных вычислениях, упрощении выражений и задачах на равное распределение. Разложение делимого на удобные части иногда позволяет считать быстрее, чем при делении столбиком. В задачах последовательное деление отражает несколько этапов распределения одного и того же количества.

Что запомнить

• Сумму можно разделить на число по слагаемым, если каждое слагаемое делится на это число.
• Разность можно разделить по уменьшаемому и вычитаемому, если оба делятся на делитель.
• Деление на произведение можно заменить последовательным делением на множители при допустимых промежуточных действиях.
• Деление проверяют умножением; при делении с остатком к произведению делителя и частного прибавляют остаток.
• Остаток всегда меньше делителя.