"Математика", Чекин А.Л.
Площадь показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Сравнить площади можно, совместив фигуры, разделив их на части или сосчитав одинаковые квадратные мерки. Внешний вид не всегда помогает: фигуры разной формы могут занимать одинаковую поверхность, а похожие — разную. Главное — сравнивать всю площадь, а при подсчёте использовать мерки одного размера.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь фигуры — величина, которая показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Она относится ко всей поверхности внутри границы, а не к отдельной стороне или углу. Понятие площади нужно, чтобы сравнивать фигуры по занимаемому месту и измерять поверхности.
Равные фигуры — фигуры, которые при наложении полностью совпадают. Если совпали и границы, и внутренние части, то ни одна фигура не выступает за другую. Такое совпадение служит надёжным способом установить равенство площадей.
Сравнение площадей — определение того, площадь какой из двух фигур больше или равна другой. Для этого можно совместить фигуры, сопоставить их части или измерить их одинаковыми мерками. Сравнение помогает обойтись без догадок по внешнему виду.
Единичный квадрат — квадрат, выбранный за мерку для измерения площади. Считают, сколько таких одинаковых квадратов помещается внутри фигуры. Эта мерка нужна, чтобы выразить площадь числом и сопоставлять результаты измерения.
По внешнему виду нельзя надёжно определить, какая фигура занимает больше места. Одна фигура может быть длиннее, но при этом уже; другая — короче, но шире. Если смотреть только на одну сторону или на общую форму, часть поверхности останется без внимания. Поэтому сравнивают фигуры целиком, а не по одному заметному признаку.
Если фигуры можно наложить, совместите их границы и внутренние области. Полное совпадение означает, что каждой точке одной фигуры соответствует точка другой и лишней поверхности нет. Значит, фигуры занимают одинаковое место и их площади равны. Если одна фигура выступает за другую, равенства нет, и выступающая часть показывает, где нужно продолжить сравнение.
Иногда фигуры нельзя наложить: например, они нарисованы далеко друг от друга или состоят из неудобных частей. Тогда их можно разделить на более простые куски и сопоставить эти куски. Если частям одной фигуры соответствуют равные по площади части другой, площади целых фигур равны. При таком сравнении важно учесть все части, чтобы ничего не потерять и не посчитать дважды.
Другой способ — измерить фигуры квадратными мерками и сравнить их количество. Мерки должны быть одинаковыми: иначе один подсчёт будет сделан маленькими квадратами, а другой — большими, и числа окажутся несопоставимы. При работе на клетчатой бумаге удобно считать клетки, но границы фигуры могут проходить через них. Неполные клетки тоже учитывают: несколько таких частей могут вместе составить целую мерку.
Форма и площадь не определяют друг друга. Если фигуру разрезать на части и переставить их без наложения, площадь останется прежней, хотя очертание может измениться. Поэтому фигуры разной формы способны иметь одинаковую площадь. И наоборот, фигуры, похожие по форме, могут занимать разное место, если отличаются размером.
| Способ | Как применить | Когда удобен | Что позволяет заключить |
|---|---|---|---|
| Наложение фигур | Совместить фигуры и проверить совпадение границ и внутренних частей. | Когда фигуры можно совместить или вырезать. | Установить равенство площадей при полном совпадении; заметить выступающие части при несовпадении. |
| Разбиение на части | Разделить фигуры на части и сопоставить соответствующие куски. | Когда фигуры нельзя наложить целиком, но их удобно разделить. | Установить равенство или различие площадей по площади частей. |
| Подсчёт одинаковых квадратных мерок | Посчитать, сколько одинаковых квадратов помещается в каждой фигуре. | Когда фигуры нанесены на клетчатую бумагу или составлены из квадратов. | Сравнить полученные количества мерок и определить, где площадь больше. |
Сначала выберите способ, который можно применить к данным фигурам. Затем проверьте, что учтена вся поверхность и, при подсчёте, используются одинаковые мерки. Таблица помогает выбрать способ и понять, какой вывод он даёт.
Задача 1. Даны две фигуры на клетчатой бумаге. Определи, у какой из них площадь больше, если одну фигуру можно наложить на другую. Здесь не нужно угадывать по длине сторон или форме: наложение позволяет сравнить целые поверхности. Действуй последовательно.
Ответ: при полном совпадении площади равны; если одна фигура выступает за другую, большей будет фигура с большей оставшейся поверхностью.
Задача 2. Первая фигура занимает 9 клеток, вторая — 11. Сравни их площади, считая, что клетки одинаковые. Клетка здесь служит квадратной меркой, поэтому можно сравнить не очертания, а число одинаковых частей. Чем больше таких частей занимает фигура, тем больше её площадь.
Ответ: площадь второй фигуры больше.
Задача 3. Фигуры разной формы составлены из клеток. Некоторые части второй выглядят иначе, но их можно переставить так, чтобы получить первую. Сравни площади. Внешние очертания здесь не совпадают, поэтому сравнивать фигуры только взглядом не стоит. Перестановка поможет сопоставить всю поверхность.
Ответ: площади фигур равны, хотя их формы различаются.
Ошибка: считать, что более длинная сторона обязательно означает большую площадь. Так думают, потому что длину заметить проще, чем сравнить всю поверхность. Но длинная фигура может быть узкой, а короткая — широкой. Проверь себя: сравни фигуры наложением, частями или одинаковыми мерками.
Ошибка: сравнивать количество клеток разного размера. Большая клетка занимает больше места, чем маленькая, поэтому одинаковые числа клеток не означают одинаковую площадь. Такая ошибка возникает, когда внимание обращают на число, а не на размер мерки. Проверь, одинаковы ли квадраты, которыми измерены обе фигуры.
Ошибка: учитывать только целые клетки. Если контур проходит через клетки, неполные части могут вместе образовать целую мерку. Их пропускают, потому что каждая по отдельности не похожа на полный квадрат. Проверь границу фигуры и объединяй подходящие неполные клетки, прежде чем делать вывод.
Ошибка: объявлять площади равными из-за похожей формы. Фигуры могут выглядеть похоже, но отличаться размером, поэтому сходство очертаний не доказывает равенство площадей. Чтобы не ошибиться, выполни наложение или сосчитай одинаковые мерки. Вывод делай по сравнению всей поверхности, а не по общему впечатлению.
Для сравнения площадей полезно уметь распознавать геометрические фигуры и считать клетки на бумаге в клетку. Эти навыки помогают увидеть границы фигуры, разделить её на части и не пропустить мерки. Дальше сравнение площадей пригодится при изучении единиц площади и измерении площади прямоугольника. Те же способы помогут находить площади составных фигур, которые можно разбить на более простые.
Как сравнить площади фигур, если они нарисованы на бумаге?
Если фигуры можно вырезать или мысленно совместить, наложите одну на другую и проверьте, совпадают ли они. Если это неудобно, разделите их на части или сосчитайте одинаковые квадратные мерки.
Можно ли сравнить площади фигур, просто посмотрев на них?
Обычно взгляд не даёт надёжного ответа: длинная сторона или необычная форма могут отвлекать от всей поверхности. Для уверенного сравнения используйте наложение, разбиение на части или подсчёт мерок.
Почему фигуры разной формы могут иметь одинаковую площадь?
Форма и площадь — разные свойства. Например, части одной фигуры можно переставить и сложить из них фигуру другой формы, не добавляя и не убирая поверхность.
Как сравнивать площади, если фигуры нельзя наложить друг на друга?
Разделите каждую фигуру на удобные части и сопоставьте их. Если фигуры составлены из клеток, сосчитайте клетки одинакового размера, учитывая, что неполные клетки иногда образуют целые.
Можно ли считать клетки разного размера одной и той же меркой?
Нет, для сравнения количества мерок их размер должен быть одинаковым. Одна большая клетка занимает больше места, чем маленькая, поэтому числа клеток в таких случаях нельзя сравнивать напрямую.
Какая площадь больше?
