Поразрядное сравнение многозначных чисел

Определения и обозначения

Многозначное число — число, записанное несколькими цифрами. Каждая цифра показывает, сколько единиц своего разряда содержится в числе: например, в числе 483 цифра 4 обозначает четыре сотни, 8 — восемь десятков, а 3 — три единицы. Такое представление помогает понять устройство числа и сравнивать его с другими числами.

Разряд числа — место цифры в его записи, соответствующее единицам, десяткам, сотням и другим разрядным единицам. Каждая следующая позиция слева обозначает единицы в десять раз крупнее: десятки крупнее единиц, сотни — десятков. Названия и порядок разрядов нужны, чтобы сопоставлять цифры, которые занимают одинаковые места.

Старший разряд — наибольший разряд, представленный в записи числа; он находится крайним слева. Например, у числа 5638 старший разряд — разряд тысяч, а у числа 72 — разряд десятков. С него начинают сравнение чисел одинаковой длины, потому что он задаёт наибольшую часть числа.

Поразрядное сравнение — способ сравнения чисел сначала по количеству разрядов, а при одинаковом количестве — по цифрам, начиная со старшего разряда. Если цифры совпали, сравнение продолжают справа, пока не найдут различие. Этот способ позволяет установить, какое число больше, меньше или равно другому, не складывая его разрядные части.

Как это устроено

Если одно число записано большим количеством цифр, оно больше числа с меньшим количеством цифр. Причина в том, что его старший разряд крупнее: например, у трёхзначного числа есть сотни, а у двузначного старшая единица — десяток. Даже самая маленькая сотня больше самого большого числа десятков, поэтому количество цифр сразу позволяет сделать вывод.

Когда количество цифр одинаково, сравнение начинают с крайней левой цифры. В одном и том же разряде цифра обозначает одинаковое количество одинаковых разрядных единиц, поэтому можно прямо сопоставить значения цифр. Если одна из них больше, то больше и всё число: вклад этого разряда превышает возможную разницу в разрядах справа.

Если цифры старшего разряда одинаковы, они дают числам одинаковую крупную часть. Тогда переходят к следующему разряду справа и сравнивают цифры там; при новом совпадении продолжают дальше. Так сравнение постепенно учитывает сначала крупные части числа, а затем более мелкие.

Достаточно найти первый слева разряд, в котором цифры различаются. Все цифры левее него совпадают и дают числам одинаковую часть, а разность в найденном разряде больше, чем возможное влияние всех разрядов правее него. Поэтому младшие цифры уже не могут изменить результат, даже если в них у меньшего числа стоят большие цифры.

Числа равны, если во всех соответствующих разрядах стоят одинаковые цифры. Чтобы записать результат, используют знаки: «>» означает «больше», «<» — «меньше», а «=» — «равно». У знаков «>» и «<» острие обращено к меньшему числу, а раскрытая сторона — к большему.

Как сравнивать многозначные числа

Пользуйся таблицей как последовательностью проверок: сначала выясни, сколько цифр в каждом числе, а при равном количестве переходи к разрядам. Останавливайся на первом различии слева — оно определит результат. Если различий нет, числа равны.

Разбор задач

Задача. Сравнить 483 и 72. Сравним количество цифр, потому что при разной длине не нужно проверять разряды по одному. Это быстрее и опирается на то, что старший разряд трёхзначного числа — сотни, а старший разряд двузначного — десятки.

1. В числе 483 три цифры, а в числе 72 — две.
2. Трёхзначное число имеет старший разряд сотен, который крупнее старшего разряда десятков у двузначного числа.
3. Значит, 483 больше 72; знак ставим так, чтобы его раскрытая сторона была обращена к 483.

Ответ: 483 > 72.

Задача. Сравнить 5638 и 5671. В обоих числах по четыре цифры, поэтому количество разрядов не помогает определить большее число. Нужно двигаться слева направо и остановиться на первом различии: одинаковые разряды дают одинаковую часть числа.

1. В разряде тысяч стоят цифры 5 и 5 — они совпадают.
2. В разряде сотен стоят цифры 6 и 6 — они тоже совпадают.
3. В разряде десятков стоят 3 и 7. Так как 3 меньше 7, первое число меньше второго; до разряда единиц переходить не требуется.

Ответ: 5638 < 5671.

Задача. Сравнить 40805 и 40798. В обоих числах по пять цифр, поэтому ищем первое различие от старшего разряда к младшему. Нули нужно оставить на своих местах: они обозначают отсутствие единиц разряда, но не отменяют сам разряд.

1. В разряде десятков тысяч стоят 4 и 4 — цифры совпадают.
2. В разряде тысяч стоят 0 и 0, а в разряде сотен — 8 и 7.
3. Первое различие найдено в разряде сотен: 8 больше 7. Значит, 40805 больше 40798, независимо от цифр в разрядах десятков и единиц.

Ответ: 40805 > 40798.

Типичные ошибки

Ошибка — сравнивать цифры не слева направо, а выбирать первое попавшееся различие. Тогда можно принять за решающее различие в младшем разряде, хотя более старший разряд ещё не проверен. Чтобы проверить себя, перечисли разряды от старшего к младшему и найди первую различающуюся пару именно в этом порядке.

Иногда считают, что число с большей последней цифрой обязательно больше. Так происходит, когда внимание сосредоточено на единицах, хотя старшие разряды имеют большее значение. Проверяй сначала старший разряд: до единиц доходи только в том случае, если все более крупные разряды совпали.

Ноль внутри записи могут пропустить, будто его нет. Но ноль показывает, что единиц данного разряда не содержится, и при этом сохраняет место остальных цифр; например, в 40805 он стоит в разряде тысяч и в разряде десятков. Сверь записи по позициям и не удаляй нули перед сравнением.

Знаки «>» и «<» легко перепутать, если ориентироваться только на их название. Проверь направление: остриё обращено к меньшему числу, раскрытая сторона — к большему. Подставь числа в запись и прочитай её вслух, например: «восемь больше трёх» — 8 > 3.

Связь с другими темами

Для поразрядного сравнения нужно знать названия разрядов и их порядок, а также понимать, что цифры обозначают количество единиц в своих позициях. Эти знания связаны с записью и чтением многозначных чисел: одна и та же цифра может обозначать единицы, десятки или сотни в зависимости от места. Если сначала определить разряд каждой цифры, сравнивать числа становится понятнее.

Поразрядное сравнение используют, когда числа нужно расположить по порядку, выбрать наибольшее или наименьшее значение или сопоставить результаты вычислений. Оно помогает быстро оценить ответ и проверить, не получился ли он неожиданно большим или маленьким. Поэтому навык нужен не только при изучении записи чисел, но и при решении задач и вычислениях.

Что запомнить

• Сначала сравнивают количество цифр в числах.
• Из двух чисел с разным количеством цифр больше то, в записи которого цифр больше.
• Если цифр поровну, сравнение начинают со старшего разряда.
• При совпадении цифр переходят к следующему разряду справа.
• Первый различающийся разряд определяет, какое число больше.
• Числа равны, если цифры во всех соответствующих разрядах совпадают.