"Математика", Чекин А.Л.
Числовые выражения помогают записывать вычисления коротко и понятно, а сравнение показывает, какое из чисел больше или меньше. Чтобы найти значение выражения, нужно учитывать скобки и порядок действий: умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Сравнивать натуральные числа удобно по количеству цифр, а затем по разрядам. Группировка и округление упрощают вычисления и помогают проверить, похож ли точный ответ на правдоподобный.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел и знаков арифметических действий, например 18 + 4 · 3. Значение выражения — число, которое получается после выполнения всех действий. Чтобы его найти, нужно сначала определить порядок вычислений, иначе можно получить неверный ответ. Скобки тоже входят в запись и показывают, какие действия следует выполнить прежде других.
Порядок действий — последовательность выполнения операций в выражении с учётом скобок и приоритета умножения и деления. Сначала вычисляют выражения в скобках, затем умножают и делят, а после складывают и вычитают. Если действия относятся к одной ступени, их выполняют слева направо. Это правило помогает всем получать один и тот же результат, даже если выражение содержит несколько операций.
Сравнение чисел — установление, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Для записи используют знаки >, < и =: например, 7 < 12, а 15 = 15. Знак раскрывается в сторону большего числа: его широкий край обращён к большему значению. Сравнение нужно, чтобы упорядочивать числа и понимать, какое количество больше или меньше.
Округление числа — замена числа близким числом с меньшим количеством значащих разрядов, то есть цифр, которые передают его точность. Например, 348 можно округлить до 350, если достаточно оценки до десятков. Полученное приближённое число позволяет быстро прикинуть результат вычисления. Такая проверка показывает, правдоподобен ли точный ответ, но сама по себе его не заменяет.
Чтобы определить порядок действий в выражении с несколькими операциями, сначала находят скобки и решают, что вычислять внутри них. Если скобки вложены друг в друга, начинают с самых внутренних, а затем переходят к внешним. После этого выполняют операции оставшегося выражения по общим правилам. Так скобки задают части вычисления, которые нужно закончить до работы с остальной записью.
Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, потому что они образуют более высокий уровень действий в принятой записи. Без этого правила выражения без скобок можно было бы понимать по-разному. Например, 5 + 2 · 6 означает 5 + 12, а не сумму 5 и 2, умноженную на 6. У умножения и деления один приоритет, как и у сложения с вычитанием, поэтому внутри каждой такой пары вычисляют слева направо.
Натуральные числа сравнивают сначала по количеству цифр: каждая следующая цифра слева увеличивает разряд и возможную величину числа. Поэтому любое пятизначное число больше любого четырёхзначного. Когда цифр одинаково, числа сравнивают поразрядно слева направо: сначала тысячи или десятки тысяч, затем следующий разряд. Как только цифры различаются, дальнейшие разряды уже не могут изменить вывод.
Свойства сложения и умножения позволяют менять местами числа и объединять их в удобные группы. Это полезно, когда среди слагаемых есть пары с круглой суммой, а среди множителей — сочетания, дающие простое произведение. Например, можно сначала умножить 25 на 4, если это превращает вычисление в умножение на 100. При вычитании и делении произвольная перестановка не сохраняет результат, поэтому такие действия нельзя перегруппировывать тем же способом.
Прикидка начинается с выбора разряда, до которого удобно округлить числа. Затем выполняют примерное вычисление и сравнивают оценку с точным результатом: они должны быть близки по величине. Например, сумма чисел около 300 и 500 должна получиться около 800, а не около 80 или 8000. Разница в несколько единиц может быть нормальной из-за округления, но большой разрыв часто указывает на ошибку в вычислениях.
| Что выполняем | Правило или приём | Как проверить результат |
|---|---|---|
| Вычисление выражения со скобками | Сначала выполнить действия в скобках, затем применить общий порядок действий. | Повторно проверить вычисления внутри скобок и подстановку полученного значения. |
| Вычисление выражения без скобок | Сначала умножение и деление, потом сложение и вычитание; одинаковые ступени — слева направо. | Отметить порядок операций и проверить каждое промежуточное значение. |
| Удобная группировка при сложении и умножении | Переставить или объединить числа так, чтобы получить простые пары и произведения. | Сравнить результат с вычислением по исходному порядку или сделать прикидку. |
| Сравнение натуральных чисел | Сначала сравнить количество цифр, затем — разряды слева направо. | Убедиться, что решающим стал первый различающийся разряд. |
| Оценка результата округлением | Округлить числа до удобного разряда и примерно выполнить действие. | Проверить, близок ли точный ответ к оценке. |
В таблице можно выбрать строку по тому, что требуется сделать: вычислить, сравнить или оценить результат. Сначала примените правило из среднего столбца, а затем используйте способ проверки из последнего. Проверка помогает заметить ошибку, но прикидка не даёт точного значения.
Задача 1. Вычислите 348 + 527 и проверьте ответ прикидкой. Сначала складываем точные числа, чтобы получить искомую сумму. Затем округляем слагаемые до сотен и оцениваем, где должен находиться результат.
Ответ: 875.
Задача 2. Вычислите 720 − 6 · (35 + 25) : 3. Скобки нужно выполнить раньше остальных действий, а умножение и деление — раньше вычитания. Умножение и деление имеют одинаковую ступень, поэтому после скобок идём слева направо.
Ответ: 600.
Задача 3. Сравните 48 705 и 48 750, а затем вычислите 125 · 16 удобным способом. В первом действии числа имеют одинаковое количество цифр, поэтому ищем первый разряд, где они различаются. Во втором используем перестановку и группировку множителей, чтобы получить простое произведение.
Ответ: 48 705 < 48 750; 125 · 16 = 2000.
Первая ошибка — выполнять все действия строго слева направо, не учитывая приоритет умножения и деления. Так поступают, когда переносят правило для действий одной ступени на всё выражение. Проверьте себя: сначала отметьте скобки, затем операции более высокой ступени и только после них сложение с вычитанием. Например, в 4 + 3 · 2 умножение выполняют первым.
Вторая ошибка — пропускать скобки, если они кажутся лишними или неудобными. Скобки могут менять смысл записи, даже если входящие в них числа выглядят простыми. Сначала вычислите то, что внутри скобок, и только потом продолжайте. Для проверки перепишите выражение после этого шага, заменив скобки найденным значением.
Третья ошибка — сравнивать числа по последним цифрам или искать различия не слева направо. Последняя цифра не определяет величину числа: например, сотни и тысячи важнее единиц. Сравните сначала количество цифр, а при равном количестве последовательно двигайтесь слева направо. Остановитесь на первом различающемся разряде — именно он решает, какое число больше.
Четвёртая ошибка — принимать прикидку за точный ответ или округлять до неподходящего разряда. Округление используют для оценки, поэтому небольшое отличие от точного результата ожидаемо. Сначала выполните вычисление точно, затем сравните его с оценкой и убедитесь, что они близки по величине. Если прикидка сильно отличается, проверьте вычисление, но не заменяйте ею точный ответ.
Для работы с выражениями нужно знать таблицу умножения и правила сложения, вычитания, умножения и деления натуральных чисел. Без этих умений нельзя выполнить отдельные шаги вычисления. Правила порядка действий помогают связать их в правильную последовательность. Поэтому полезно уверенно выполнять простые действия до решения длинных выражений.
Разрядный состав чисел связывает сравнение с записью чисел и вычислением столбиком. Понимая, где стоят единицы, десятки и сотни, легче определить величину числа и правильно переносить разряд при сложении. Эти знания также помогают замечать ошибки в записи и промежуточных результатах. Сравнение разрядов показывает, почему при равном количестве цифр важен первый разряд слева, в котором числа не совпадают.
Удобная группировка и округление пригодятся в текстовых задачах, при вычислении значений выражений и проверке ответов в следующих темах. Группировка сокращает количество трудных шагов, а прикидка помогает заранее понять примерный масштаб ответа. Вместе с точным вычислением эти приёмы делают решение понятнее и позволяют вовремя заметить неверный результат. Прикидка особенно полезна, когда точный ответ уже найден и его нужно проверить.
Что делать первым, если в выражении есть и умножение, и сложение?
Сначала выполнить умножение, потому что оно имеет приоритет перед сложением. Например, в 4 + 3 · 2 сначала находят 3 · 2, а затем прибавляют 4.
В каком порядке выполнять умножение и деление, если они стоят рядом?
Умножение и деление имеют одинаковую ступень, поэтому их выполняют слева направо. Например, в 24 : 3 · 2 сначала делят 24 на 3, а затем умножают результат на 2.
Как быстро сравнить два больших натуральных числа?
Сначала сравнить количество цифр: число с большим количеством цифр больше. Если цифр поровну, сравнить числа слева направо и остановиться на первом различающемся разряде.
Можно ли менять местами числа при вычислениях?
При сложении и умножении слагаемые или множители можно переставлять и группировать, чтобы считать удобнее. При вычитании и делении такая перестановка обычно меняет результат.
Зачем округлять числа, если можно вычислить точно?
Округление позволяет быстро оценить примерный результат и проверить, не допущена ли ошибка в точном вычислении. Прикидка не заменяет точный ответ, если задача требует выполнить вычисление.
Поупражняемся в вычислениях и сравнении чисел
