"Математика", Чекин А.Л.
Числовые выражения помогают записывать вычисления коротко и точно, а правила порядка действий подсказывают, с чего начинать. Умение сравнивать числа позволяет определить, какое больше, меньше или равно другому. Чтобы получить верный результат, нужно учитывать скобки, приоритет действий и их расположение в записи. Удобная группировка чисел и проверка ответа помогают считать быстрее и замечать ошибки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись из чисел, соединённых знаками действий, например 8 + 3 · 2. Отдельное число не содержит знака действия и уже задаёт готовое значение. Выражения нужны, чтобы кратко записывать последовательность вычислений.
Значение числового выражения — число, которое получают после выполнения всех действий в записи. Например, значение выражения 8 + 3 · 2 равно 14, потому что сначала выполняют умножение. Понятие значения помогает отличать саму запись от полученного результата.
Сравнение чисел — установление того, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Для этого используют знаки >, < и =. Сравнение помогает упорядочивать числа и проверять, правдоподобен ли ответ.
Порядок действий — правила, по которым выбирают очередность вычислений в выражении. В частности, сначала выполняют действия в скобках, а умножение и деление — раньше сложения и вычитания. Эти правила нужны, чтобы разные люди получили одно и то же значение записи.
Начинай с действий в скобках: скобки выделяют часть выражения, которую нужно рассчитать как отдельную. Внутри них тоже соблюдают порядок действий. Только после получения значения скобок переходят к остальной записи, иначе можно изменить смысл вычисления.
Если скобок нет, сначала выполняют умножение и деление, затем сложение и вычитание. Умножение показывает повторное сложение, а деление связано с разбиением на равные части; поэтому эти действия имеют приоритет перед сложением и вычитанием в принятой записи. Например, в 8 + 3 · 2 сначала получают 6, а затем прибавляют 8.
Действия одинакового приоритета выполняют слева направо, потому что для них правило не задаёт преимущества одного действия над другим. Например, 24 : 3 · 2 означает сначала разделить 24 на 3, затем умножить частное на 2. Если поменять порядок без скобок, получится другое число, поэтому перестановка может исказить результат.
Вычислять можно удобнее, если использовать свойства действий. При сложении слагаемые разрешено переставлять и группировать, а при умножении так же можно переставлять и объединять множители. Например, в 25 · 16 · 4 удобно сначала перемножить 25 и 4: получится 100, которое легко умножить на 16.
Для сравнения выбери способ, подходящий к записи чисел. У натуральных чисел сначала сравнивают количество цифр, а при одинаковом количестве — разряды слева направо; на числовом луче больше число, стоящее правее. Проверка помогает заметить ошибку: можно выполнить обратное действие, пересчитать иначе или прикинуть, какого порядка должен быть ответ.
| Что делаем | Порядок или способ | Как проверить |
|---|---|---|
| Вычисляем выражение со скобками | Сначала действия внутри скобок | Повторить вычисление в скобках |
| Выполняем действия разных приоритетов | Умножение и деление, затем сложение и вычитание | Проверить промежуточные результаты |
| Выполняем действия одного приоритета | Слева направо | Сверить очередность и пересчитать |
| Сравниваем числа | Сопоставить разряды или положение на луче | Проверить знак и порядок чисел |
| Проверяем полученный результат | Обратное действие, повторный подсчёт или оценка | Убедиться, что проверка подтверждает ответ |
Сначала найди в записи скобки, а затем отметь действия разных и одинаковых приоритетов. Выбери способ проверки заранее: обратное действие удобно для вычислений, а разряды или числовой луч — для сравнения.
Здесь есть умножение и вычитание, поэтому нельзя начинать с первого знака слева. Умножение выполняется раньше вычитания. После этого останется одно действие.
Ответ: 18. Проверим оценкой: вычитаемое меньше 48, поэтому результат положительный; число 18 подходит этому условию.
Сначала нужно рассчитать выражение в скобках, потому что скобки задают отдельный первый шаг. После этого появятся деление и сложение. Деление имеет более высокий приоритет, поэтому сложение оставим на конец.
Ответ: 15. Для проверки можно подставить промежуточные результаты обратно в порядок выражения: скобки дали 48, деление — 8, а сложение — 15.
Если перемножать числа по порядку, вычисления будут длиннее. Множители можно переставить и сгруппировать иначе, поскольку при умножении от этого произведение не меняется. Получив число, сравним его с 1600.
Ответ: 1600; результат равен 1600. Равенство подтверждает сравнение, а умножение 25 на 4 первым шагом упрощает счёт.
Ошибка: складывать или вычитать раньше умножения и деления, просто двигаясь слева направо. Так поступают, когда воспринимают выражение как обычную строку, а не учитывают приоритет действий. Проверь себя: сначала отметь умножение и деление, а затем выполни остальные действия.
Ошибка: начинать вычисления, не раскрыв скобки. Скобки легко пропустить, особенно если выражение длинное, но они определяют, какую часть считать первой. Перед решением найди каждую пару скобок и вычисли то, что находится внутри.
Ошибка: менять порядок действий одного приоритета без основания. Например, деление и умножение выполняют слева направо, хотя в устном счёте иногда хочется начать с более удобного числа. Проверь, не нарушил ли ты очередность; перестановка допустима лишь там, где её разрешают свойства действия.
Ошибка: сравнивать числа по отдельным цифрам, не учитывая разряды. Одинаковая цифра может обозначать единицы, десятки или сотни, поэтому её значение зависит от места в записи. Сравни сначала число разрядов, затем цифры соответствующих разрядов или проверь расположение чисел на луче.
Для работы с выражениями нужны знания таблицы арифметических действий, порядка действий и значения скобок. Если эти основы знакомы, можно сосредоточиться на вычислении, а не каждый раз заново искать правило. Сравнение чисел опирается на понимание их записи и разрядов.
Навык пригодится при решении текстовых задач: сначала по условию составляют выражение, а затем вычисляют его значение. Те же правила помогают проверять вычисления с дробями и десятичными числами. Сохраняется общий порядок действий, хотя способы сравнения и вычисления дробных чисел могут требовать дополнительных правил.
Почему нельзя всегда выполнять действия слева направо?
Потому что сложение и вычитание имеют более низкий приоритет, чем умножение и деление. Если сначала выполнить действие слева, можно изменить результат выражения. Слева направо считают только действия одного приоритета.
Что выполнять первым, если в выражении есть скобки?
Сначала выполняют действия внутри скобок. Если там несколько действий, применяют обычные правила порядка действий. Затем переходят к оставшейся части выражения.
В каком порядке выполнять деление и умножение?
Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому их выполняют слева направо. Например, в выражении 24 : 3 · 2 сначала делят 24 на 3, а затем умножают результат на 2.
Как понять, какое из двух чисел больше?
У натуральных чисел сначала сравнивают количество цифр, а если оно одинаковое — цифры одного разряда слева направо. Можно также отметить числа на числовом луче: правее расположено большее число. Для дробных и отрицательных чисел используют правила сравнения именно этих чисел.
Как проверить, что вычисление выполнено верно?
Можно повторить вычисление, проверить его обратным действием или оценить, похож ли ответ на ожидаемый. Например, сложение проверяют вычитанием. При сравнении полезно проверить разряды чисел или их положение на числовом луче.
Поупражняемся в вычислениях и сравнении чисел
