Одно условие и несколько требований

Определения и обозначения

Задача — описание ситуации с данными и вопросом, на который нужно ответить. Она связывает знакомые сведения с тем, что требуется узнать. Это определение помогает отличить задачу от текста, в котором просто сообщаются факты.

Условие задачи — сведения о ситуации, которые даны и используются при решении. Например, числа и отношения между ними показывают, с чем предстоит работать. Выделив условие, легче понять, какие данные известны и каких сведений не хватает.

Требование задачи — то, что нужно узнать или доказать; требований может быть несколько. Вопросы «сколько всего?» и «на сколько больше?» задают разные требования. Это понятие нужно, чтобы не принять вопрос за очередное данное и не забыть о нём.

Задача с несколькими требованиями — задача, в которой при одном условии нужно ответить на два или более вопросов. Все вопросы относятся к общей ситуации, хотя ответы на них могут находиться разными действиями. Такое определение подсказывает, почему после первого ответа решение может быть ещё не закончено.

Как это устроено

Чтобы отличить условие от требований, спроси себя: «Что уже известно?» и «Что нужно узнать?». Числа и описанные связи относятся к условию, потому что они сообщают исходные сведения. Вопросы относятся к требованиям: они указывают цель решения, а не добавляют новые данные. Если смешать эти части, легко начать вычислять, не поняв, на какой вопрос нужен результат.

Несколько требований могут относиться к одному условию, потому что речь идёт об одной и той же ситуации. Общие данные разрешается использовать в разных вычислениях, если они подходят к вопросу. Например, сведения о двух группах предметов помогают найти и их общее количество, и разницу между группами. Поэтому не нужно придумывать отдельное условие для каждого вопроса.

Разбирать такую задачу удобнее по порядку: сначала выделить известные данные, затем пронумеровать требования. Так вопросы не затеряются среди чисел и описаний. После этого для каждого требования определи, что именно нужно найти и какие данные могут помочь. Этот разбор превращает длинный текст в несколько ясных целей.

Требования могут быть связаны: чтобы ответить на один вопрос, сначала приходится найти величину, нужную для следующего. Поэтому полезно составить план, а не решать вопросы в случайном порядке. В план включают сначала те действия, которые дают необходимые промежуточные результаты, и лишь затем — действия для итоговых ответов. Такая последовательность помогает использовать уже найденное и не повторять вычисления.

Решение записывай по порядку, чтобы связь между действиями была понятна. Для каждого требования должно быть видно, какое вычисление даёт ответ; если результат одного шага используется дальше, это тоже должно читаться из записи. После вычислений сформулируй отдельный ответ на каждый вопрос. В конце сравни ответы с требованиями: это позволяет заметить пропущенный вопрос или неверно выбранную величину.

Части задачи с одним условием и несколькими требованиями

Используй таблицу, чтобы разложить текст задачи на части. Сначала впиши известные сведения в строку «Условие», затем найди в тексте все вопросы и занеси их в соответствующие строки требований. Если вопросов больше двух, добавь мысленно или письменно столько строк, сколько нужно.

Разбор задач

В коробке 18 красных и 12 синих карандашей. Требуется найти общее количество карандашей, а затем узнать, на сколько красных больше, чем синих. Первое требование просит сложить количества, второе — сравнить их. Выполним действия по порядку.

1. Сложим числа карандашей двух цветов: 18 + 12 = 30. Так мы отвечаем на вопрос о количестве всех карандашей.
2. Вычтем меньшее количество из большего: 18 − 12 = 6. Разность показывает, насколько красных карандашей больше.

Ответ: в коробке 30 карандашей; красных на 6 больше, чем синих. Оба ответа используют данные одного условия, но отвечают на разные вопросы. Проверим, что ни одно требование не осталось без ответа.

В магазин привезли 6 ящиков яблок по 8 кг в каждом и 5 ящиков груш по 7 кг в каждом. Нужно найти общую массу фруктов и определить, на сколько килограммов яблок больше, чем груш. Для обоих требований сначала понадобятся массы яблок и груш. Найдём их, а затем используем сумму и разность.

1. Найдём массу яблок: 6 · 8 = 48 кг. Масса одного ящика повторяется шесть раз.
2. Найдём массу груш: 5 · 7 = 35 кг. Теперь известны массы обоих видов фруктов.
3. Найдём общую массу: 48 + 35 = 83 кг. Затем вычислим разность масс: 48 − 35 = 13 кг.

Ответ: привезли 83 кг фруктов; яблок было на 13 кг больше, чем груш. Сначала понадобились два промежуточных результата, а после них — сумма и разность. Так одни и те же найденные массы помогли выполнить оба требования.

Туристы прошли в первый день 18 км, а во второй — на 4 км больше. За третий день они прошли в 2 раза меньше, чем за первые два дня вместе. Требуется узнать путь за три дня и сравнить пути за первый и второй дни. Сначала найдём величины, которые нужны для следующих действий, потому что путь третьего дня зависит от первых двух.

1. Найдём путь за второй день: 18 + 4 = 22 км. Так выполняем условие «на 4 км больше».
2. Сложим путь за первые два дня: 18 + 22 = 40 км. Третий день составил половину этого пути: 40 : 2 = 20 км.
3. Найдём путь за три дня: 18 + 22 + 20 = 60 км. Для сравнения дней вычислим 22 − 18 = 4 км.

Ответ: за три дня туристы прошли 60 км; во второй день они прошли на 4 км больше, чем в первый. План помог не переходить к итоговым вопросам, пока не найдены нужные промежуточные величины. Каждому из двух требований соответствует свой ответ.

Типичные ошибки

Можно принять требование за часть условия и потерять вопрос среди данных. Обычно это происходит, когда ученик читает текст один раз и сразу начинает считать. Проверь себя: отдельно назови известные сведения, а затем перескажи каждый вопрос словами «нужно найти…».

Иногда решают только первое требование и останавливаются, потому что считают задачу законченной после первого вычисления. Так бывает, если вопросы не пронумерованы или ученик не перечитал текст. Пересчитай вопросительные предложения и сверь их количество с ответами в записи.

Если вычислять каждую часть независимо, можно повторить действия или забыть использовать уже найденный результат. Причина часто в том, что решение начинают без плана. Проверь, какие величины понадобятся дальше, и отметь промежуточные результаты до начала вычислений.

Один общий ответ без пояснения может оставить непонятным, к какому требованию он относится. Так записывают, когда торопятся и считают, что числа сами показывают смысл результата. Для проверки подпиши, что означает каждое число, и запиши ответ отдельно для каждого вопроса.

Связь с другими темами

Для разбора задачи с несколькими требованиями нужно уметь находить данные и вопросы в тексте, выполнять арифметические действия и сравнивать числа. Эти навыки помогают определить, какое действие подходит к каждому вопросу. Если сравнивают две величины, например, часто требуется найти разность; если спрашивают об общем количестве — сумму.

Умение выделять несколько требований пригодится при решении составных задач. В таких задачах ответ часто получают не одним действием, а последовательностью шагов. Навык составлять план помогает определить порядок действий и понять, как промежуточный результат связан с итоговым ответом.

Что запомнить

• Условие сообщает, что известно.
• Требование показывает, что нужно найти.
• В одной задаче может быть несколько требований.
• Перед решением посчитай все вопросы.
• Составь порядок действий для каждого требования.
• В ответе проверь, что учтены все вопросы задачи.