Поупражняемся в изображении куба

Определения и обозначения

Куб — пространственное тело, составленное из шести равных квадратных граней. Иначе говоря, это объёмная фигура, у которой все стороны одинаковы по форме и размеру. Такое определение помогает отличить куб от других тел, например от прямоугольного параллелепипеда, у которого грани могут быть прямоугольниками разного размера.

Грань куба — квадрат, ограничивающий куб с одной стороны. На чертеже грани показывают плоскими фигурами, чтобы было понятно, какие части поверхности образуют тело. Знание граней нужно, например, чтобы представить развёртку или определить, какие участки закрывают рёбра.

Ребро куба — отрезок, по которому пересекаются две грани. В рисунке ребро изображают отрезком, а его положение относительно наблюдателя отмечают сплошной или штриховой линией. Рёбра помогают увидеть, как соединены грани и где проходит граница куба.

Вершина куба — точка, в которой сходятся три ребра. На чертеже вершину отмечают концом отрезков и при необходимости обозначают буквой. Вершины нужны, чтобы правильно соединять переднюю и заднюю грани и не перепутать направление рёбер.

Как это устроено

Изображение начинают с квадрата, потому что он сразу задаёт переднюю грань, форму и размеры видимой части куба. Затем его копию условно сдвигают в сторону и немного вверх или вниз, чтобы показать глубину. Это не точная фотография тела, а удобный чертёж, позволяющий на плоскости передать объём.

Заднюю грань изображают квадратом, смещённым относительно переднего, и соединяют пары соответствующих вершин. Например, верхнюю левую вершину переднего квадрата соединяют с верхней левой вершиной заднего. Если соединять вершины в одинаковом порядке, рёбра не пересекаются случайно и грани складываются в форму куба.

В пространстве рёбра куба, идущие в одном направлении, параллельны. На рисунке сохраняют эту параллельность, чтобы не создавать впечатление, будто соответствующие рёбра сходятся или расходятся. Длины отрезков и углы на плоском изображении могут отличаться от настоящих: такая условность нужна, чтобы было видно, какая часть фигуры находится дальше.

Рёбра, которые видны с выбранной точки, проводят сплошными линиями. Те, что закрыты гранями, показывают штриховыми: иначе зритель решил бы, что их нет, а не что они скрыты. При обычном изображении куба с одной передней гранью три ребра, сходящиеся в дальней вершине, оказываются невидимыми; при другом ракурсе расположение видимых рёбер может измениться.

Проверять изображение полезно не только по внешнему сходству: невидимые рёбра легко пропустить, а лишние — случайно добавить. У куба должно быть шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин, причём в каждой вершине сходятся три ребра. Подсчёт выполняют мысленно по всей фигуре, включая скрытые линии, а не только по тем отрезкам, которые видны на листе.

Элементы куба и их изображение

Число видимых и невидимых рёбер в таблице относится к обычному изображению куба, где видны три грани. При другом положении фигуры видимость может измениться, но общее число рёбер остаётся прежним. Пользуйтесь таблицей как проверочным списком: учитывайте не только линии, но и скрытые части куба.

Разбор задач

1. Изобразить куб и обозначить буквами все его вершины

Условие: нужно построить изображение куба и подписать каждую вершину. Сначала важно получить понятную форму, а затем убедиться, что обозначения не пропущены и не повторяются. Для наглядности переднюю грань можно назвать ABCD, а заднюю — EFGH.

1. Начертите квадрат ABCD — это будет передняя грань.
2. Изобразите равный ему квадрат EFGH со сдвигом в одном направлении; на условном рисунке его стороны могут выглядеть укороченными.
3. Соедините соответствующие вершины: A с E, B с F, C с G и D с H. Проверьте, что соединяющие отрезки параллельны.
4. Отметьте сплошными линии, которые видны, а закрытые гранями линии выполните штриховыми. Пересчитайте подписи: букв должно быть восемь.

Ответ: построен куб с вершинами A, B, C, D, E, F, G и H. Соответствующие вершины соединены параллельными рёбрами, а скрытые рёбра показаны штрихами. Обозначения можно выбрать иначе, если каждая вершина подписана один раз.

2. Определить видимые и невидимые рёбра и дорисовать пропущенные штриховые линии

Условие: на готовом изображении часть рёбер уже проведена, но несколько скрытых линий отсутствуют. Не следует считать пустое место доказательством того, что ребра нет: оно может быть закрыто гранью. Нужно рассмотреть расположение граней и восстановить недостающие части чертежа.

1. Найдите переднюю грань и определите, с какой стороны показана глубина куба.
2. Проследите, какие рёбра соединяют соответствующие вершины передней и задней граней. Видимые из выбранного положения линии оставьте сплошными.
3. Определите вершину, которая находится за видимыми гранями. От неё должны отходить три ребра, скрытые от наблюдателя.
4. Проверьте, какие из этих рёбер уже проведены. Недостающие дорисуйте штрихами так, чтобы они завершали рёбра куба, но не меняли положение других вершин.

Ответ: невидимые рёбра восстановлены штриховыми линиями, а видимые оставлены сплошными. В обычном изображении заштрихованными должны быть три ребра, сходящиеся в дальней вершине. Если получились лишние пересечения, проверьте, не соединены ли несоответствующие вершины.

3. Изобразить два одинаковых куба, поставленных рядом

Условие: два равных куба стоят бок о бок, и на общем изображении нужно показать внешнюю форму и скрытые рёбра. Важно представить их как соседние тела, а не как два куба, между которыми обязательно остаётся промежуток. Если кубы соприкасаются гранями, их общая грань находится внутри составной фигуры.

1. Постройте первый куб по обычному правилу: передняя грань, сдвинутая задняя грань и параллельные соединяющие рёбра.
2. Рядом постройте второй такой же куб, сохранив тот же размер и направление рёбер, уходящих в глубину.
3. Совместите соприкасающиеся грани. Не обводите общую грань как часть внешней поверхности: она разделяет кубы внутри составной фигуры.
4. Определите видимые с выбранного положения рёбра всего составного изображения и проведите закрытые гранями рёбра штрихами.

Ответ: изображены два одинаковых соседних куба с единым направлением параллельных рёбер. Общая грань не считается внешней гранью составной фигуры, а скрытые рёбра отмечены штриховыми линиями. Проверьте, что линии двух кубов согласованы и не создают случайных пересечений.

Типичные ошибки

Заднюю грань иногда рисуют непараллельно передней, потому что воспринимают чертёж как обычную плоскую фигуру, а не как изображение тела. Тогда глубина выглядит неодинаковой в разных местах и куб теряет правильную форму. Проверьте, что соответствующие стороны граней параллельны, а их вершины смещены в одном направлении.

Другая ошибка — соединить несоответствующие вершины передней и задней граней. Так поступают, если не отслеживают пары по положению; соединительные рёбра могут пересечься или исказить грани. Проверьте, что пары соответствуют друг другу, а все рёбра, направленные в глубину, параллельны.

Если провести все рёбра сплошными линиями, скрытые части будут выглядеть так, будто проходят поверх граней. Обычно это происходит, когда ученик учитывает только наличие ребра, но забывает о точке зрения. Найдите закрытые гранями рёбра и замените их штрихами; для обычного ракурса должно быть видно три грани и скрыты три ребра.

Видимые отрезки иногда ошибочно принимают за все рёбра куба. Невидимые линии не попадают в прямой подсчёт, поэтому на рисунке кажется, что рёбер меньше, чем нужно. Проверяйте фигуру по полному числу элементов: учитывайте скрытые рёбра и убедитесь, что их вместе с видимыми двенадцать.

Связь с другими темами

Для чертежа нужно уметь различать точку, отрезок, квадрат и параллельные отрезки: из них складывается изображение куба. Тема также опирается на представление о пространственных телах, их гранях, рёбрах и вершинах. Позже этот навык поможет читать развёртку куба и разбираться в площади поверхности и объёме прямоугольного параллелепипеда. Умение видеть скрытые элементы особенно полезно, когда тело изображено только на плоском чертеже.

Что запомнить

• Куб имеет шесть граней, двенадцать рёбер и восемь вершин.
• Каждая грань куба является квадратом.
• Соответствующие рёбра на изображении проводят параллельно.
• Закрытые рёбра изображают штриховыми линиями.
• При построении нужно соединять соответствующие вершины передней и задней граней.
• Правильность рисунка проверяют по форме и числу элементов куба.