"Математика", Чекин А.Л.
Сравнивать числа и величины — значит определять, какое значение больше, меньше или равно другому. Это нужно, чтобы упорядочивать числа, решать неравенства и выбирать подходящую величину в задаче. Натуральные числа сравнивают по количеству цифр, а затем по разрядам; дроби — с учётом числителя и знаменателя. Величины сначала выражают в одинаковых единицах. Результат записывают знаками >, < или = и при необходимости проверяют на координатном луче.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сравнение чисел — это установление того, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Сравнивать можно натуральные числа, дроби и другие числа. Результат помогает расположить числа по порядку и выбрать нужное значение в задаче. Чтобы записать этот результат, используют специальные знаки.
Знаки сравнения — это обозначения >, < и =. Запись 8 > 5 читают «восемь больше пяти», а 3 < 7 — «три меньше семи»; знак = читают «равно». Острый конец знака направлен к меньшему числу, а раскрытая сторона — к большему. Такое правило помогает правильно прочитать запись и не перепутать знаки.
Сравнение величин — установление отношения между величинами одного рода, например двумя длинами или двумя массами. Нужно учитывать не только числа, но и единицы измерения: 2 м и 3 см нельзя сравнить, просто сопоставив цифры 2 и 3. Сначала величины выражают в одинаковых единицах, а затем сравнивают значения. Это позволяет получить верный ответ даже при разных способах записи.
Именованное число — это число вместе с единицей измерения, например 5 м или 3 кг. Число показывает, сколько единиц взято, а единица сообщает, что именно измеряют. Поэтому при сравнении именованных чисел проверяют и значение числа, и соответствие единиц. Такой способ записи нужен, чтобы не спутать, например, длину с массой.
У натурального числа с большим количеством цифр больше разрядов, поэтому оно больше любого натурального числа с меньшим количеством цифр. Например, трёхзначное число содержит не менее одной сотни, а двузначное до сотни не доходит. Поэтому при сравнении 508 и 83 не нужно разбирать отдельные цифры: достаточно посчитать их количество. Этот быстрый шаг работает для натуральных чисел, записанных без ведущих нулей.
Если цифр поровну, количество разрядов не помогает отличить числа, и их сравнивают слева направо. Сначала смотрят на старший разряд, потому что он задаёт наибольшую часть числа: сотни важнее десятков, а десятки — единиц. Если цифры в нём равны, переходят к следующему разряду. Первое различие показывает, какое число больше; более поздние цифры уже не могут изменить этот результат.
У дробей значение зависит от размера долей и от того, сколько долей взято. При одинаковых знаменателях доли равны по размеру, поэтому достаточно сравнить числители: больше та дробь, в которой взято больше долей. При одинаковых числителях дроби содержат одинаковое число долей, но сами доли различаются: чем больше частей в целом, тем каждая часть меньше. Например, одна седьмая меньше одной пятой, поэтому 3/7 меньше 3/5.
Величины можно напрямую сравнивать, если они записаны в одной единице: тогда достаточно сравнить числа. Если единицы разные, сначала используют соотношение между ними и переводят записи к общей единице. Это необходимо потому, что одна и та же величина может иметь разные числовые значения в зависимости от выбранной единицы: метр длиннее сантиметра. После перевода сравнивают уже числа, не смешивая единицы.
Координатный луч даёт наглядную проверку: числа на нём расположены по возрастанию слева направо. Поэтому из двух отмеченных чисел больше то, которое находится правее, а меньше то, которое левее. Если точка оказалась правее, а в записи поставлен знак «меньше», значит, знак выбран неверно. Такая проверка удобна для чисел, которые можно отметить на луче.
Таблица подсказывает первый шаг для каждого вида записи и помогает не применять одно правило ко всем случаям. Пользуйся строкой, которая подходит к условию задачи, а затем выполни проверку в последнем столбце. Если сравниваются величины, сначала выясни, совпадают ли их единицы.
| Что сравниваем | Первый шаг | Как определить результат | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Натуральные числа с разным количеством цифр | Посчитать цифры в каждом числе | Больше число с большим количеством цифр | Что нули в записи не являются ведущими |
| Натуральные числа с одинаковым количеством цифр | Сравнить цифры старшего разряда | Найти первое различие слева направо | Что разряды сопоставлены по порядку |
| Дроби | Сравнить знаменатели и числители | При равных знаменателях сравнить числители; при равных числителях учесть размер долей | Что учтены оба числа дроби и размер долей |
| Величины с одинаковыми единицами | Сопоставить числовые значения | Сравнить числа при общей единице измерения | Что единицы действительно одинаковы |
| Величины с разными единицами | Перевести записи в одну единицу | Сравнить полученные числовые значения | Что перевод выполнен верно и единицы совпали |
Задача 1. Сравнить 508 и 83, поставив знак >, < или =. Сначала выясним, как записаны числа и какой способ подойдёт. Числа натуральные, а число их цифр различается. Значит, достаточно применить правило сравнения по количеству цифр.
Ответ: 508 > 83. Сравнение отдельных цифр здесь не требуется: решающим оказалось количество разрядов. Этот приём позволяет быстро определить результат для натуральных чисел с разной длиной записи. Если бы количество цифр совпало, пришлось бы сравнить разряды слева направо.
Задача 2. Сравнить 4/7 и 6/7. Знаменатели дробей одинаковы, значит, обе дроби составлены из долей одного и того же размера. Осталось выяснить, в какой дроби таких долей больше. Для этого сравним числители.
Ответ: 4/7 < 6/7. Мы сравнили числители потому, что размер долей совпадает. Если бы одинаковыми были числители, потребовалось бы сравнить размеры долей, заданные знаменателями. Поэтому нельзя выбирать большую дробь только по одному числу в её записи.
Задача 3. Сравнить 2 м 35 см и 230 см. Записи относятся к длинам, но единицы в них разные. Чтобы сравнение было прямым, выразим обе длины в сантиметрах. Затем сопоставим числовые значения при одинаковой единице.
Ответ: 2 м 35 см > 230 см. Перевод единиц показывает, что первая длина равна 235 сантиметрам. После преобразования сравнение становится таким же простым, как сравнение натуральных чисел. В конце можно проверить, что знак направлен острым концом к 230 см.
Иногда многозначные числа сравнивают по последним цифрам или начинают проверку справа. Так поступают, потому что привычно читать число целиком, но разряды имеют разную ценность: сотни важнее десятков и единиц. Начинать нужно со старшего разряда, двигаясь слева направо до первого различия. Проверь себя: верно ли определён разряд, который первым отличается?
Другая ошибка — считать, что дробь с большим знаменателем обязательно больше. Знаменатель задаёт размер доли: если целое разделить на большее количество равных частей, каждая часть станет меньше. Сравнивай знаменатель и числитель вместе, а при равных числителях подумай о размере долей. Для проверки можно представить одинаковую часть целого, например одну пятую и одну седьмую.
Величины иногда сравнивают прямо в разных единицах: например, сопоставляют число метров с числом сантиметров. Ошибка возникает, когда забывают, что числовое значение зависит от выбранной единицы. Переведи обе записи в одну единицу и только после этого сравни числа. Перед ответом проверь, одинаково ли обозначены единицы у обеих величин.
Знаки > и < путают, потому что они похожи и направлены в разные стороны. Ошибочно выбирать знак по тому, куда обращён острый конец, не проверяя, какое число меньше. Запомни: острый конец указывает на меньшее число, раскрытая часть смотрит на большее. Прочитай запись словами и проверь её по этому правилу.
Для сравнения натуральных чисел нужны знания о разрядном составе: единицах, десятках, сотнях и следующих разрядах. Порядок чисел можно проверить по их расположению на координатном луче, где правее находится большее число. При работе с величинами помогают соотношения единиц длины, массы и времени: они позволяют перевести разные записи к общей единице.
Сравнение используется, когда числа нужно расположить по возрастанию или убыванию, а также при решении неравенств. В задачах с величинами оно помогает выяснить, какое расстояние, время или масса больше. Умение выбирать правильный знак и переводить единицы пригодится и в вычислениях, и в повседневных ситуациях.
С какого разряда начинать сравнение многозначных чисел?
Если у чисел одинаковое количество цифр, начинай со старшего разряда — например, с разряда сотен или тысяч. Двигайся слева направо, пока не найдёшь разные цифры.
Как сравнить числа, если у них одинаковое количество цифр?
Сравни цифры в старшем разряде. Если они одинаковы, переходи к следующему разряду; первое различие определит, какое число больше.
Почему при сравнении дробей важно учитывать знаменатель?
Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделено целое, а значит, какого размера каждая часть. Поэтому дробь с большим знаменателем не обязательно больше: нужно учитывать и числитель.
Что делать, если величины записаны в разных единицах?
Переведи обе величины в одну и ту же единицу, используя известное соотношение между единицами. Затем сравни полученные числа.
Как не перепутать знаки > и
Острый конец знака направлен к меньшему числу, а раскрытая сторона — к большему. Например, 3 < 8 читается «три меньше восьми».
Поупражняемся в сравнении чисел и величин
