"Математика", Чекин А.Л.
Умножение на 1000 помогает быстро находить произведение натурального числа и тысячи без столбика. Тысяча равна 10 × 10 × 10, поэтому при таком умножении каждая цифра числа переходит на три разряда влево. На практике это означает: к записи числа приписывают три нуля. Все цифры исходного числа, включая нули внутри и в конце, сохраняются. Проверить вычисление можно обратным действием — разделить результат на 1000.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Тысяча — число 1000, которое в десятичной записи состоит из единицы в разряде тысяч и трёх нулей. Единица в этом разряде означает тысячу единиц, а нули показывают отсутствие сотен, десятков и единиц. Понимание записи помогает увидеть, почему число 1000 связано с перемещением цифр по разрядам.
Разряд числа — место цифры в записи числа, определяющее её значение; при умножении на 1000 цифры переходят на три позиции левее. Например, цифра 4 в числе 42 обозначает четыре десятка, а после умножения на 1000 будет обозначать четыре десятка тысяч. Разряды нужны, чтобы следить за значением каждой цифры и не путать порядок записи результата.
Умножение на 1000 — умножение числа на тысячу; для натурального числа результат можно получить, приписав к его записи три нуля. Так, 26 × 1000 = 26000. Это правило удобно для устных вычислений, потому что позволяет получить ответ без выполнения умножения в столбик.
Нули-заполнители — нули, сохраняющие нужные разряды в записи числа, например в результате 204 × 1000 = 204000. Ноль между цифрами исходного числа нельзя убрать: он показывает, что в соответствующем разряде нет единиц. Нули помогают сохранить исходное число и правильно записать увеличенное в тысячу раз значение.
Умножение на 1000 можно представить как последовательное умножение на 10 три раза, потому что 1000 = 10 × 10 × 10. Сначала число увеличивается в десять раз, затем полученное произведение снова увеличивается в десять раз, и ещё раз — на десять. В итоге оно становится в тысячу раз больше исходного. Поэтому правило для умножения на 10 можно применить трижды.
При умножении на 10 цифры сдвигаются на один разряд влево: каждая начинает обозначать значение в десять раз больше. Когда умножаем на 1000, такое изменение происходит три раза подряд. Поэтому цифры исходного числа занимают позиции на три разряда левее, а освободившиеся справа разряды записывают нулями. Так объясняется сдвиг на три позиции, а не на одну или две.
У натурального числа каждая цифра имеет своё место, а приписанные справа нули показывают увеличение значений цифр в тысячу раз. Например, 37 состоит из трёх десятков и семи единиц, а 37000 — из трёх десятков тысяч и семи тысяч. Значит, цифры остались прежними, но стали обозначать количества в тысячу раз больше. Поэтому для быстрого вычисления достаточно приписать три нуля к записи исходного числа.
Если исходная запись уже заканчивается нулями, они остаются частью числа и никуда не исчезают. Например, 4200 — это 42 сотни, а умножение на 1000 увеличивает каждую часть числа в тысячу раз. К записи 4200 нужно добавить ещё три нуля: получаем 4200000. Сначала сохраняй все цифры исходного числа, а затем дописывай нули для новых разрядов.
Проверить умножение можно обратным действием — делением на 1000. Деление на 1000 отменяет умножение на 1000, поэтому из результата должно получиться исходное число. Например, если 37 × 1000 = 37000, то 37000 : 1000 = 37. Такая проверка помогает заметить ошибку в количестве нулей или в записи цифр.
В таблице собраны случаи, которые могут встретиться при умножении на 1000. Сначала сравни исходное число с первым столбцом, затем используй пример и правило из последнего столбца. Для проверки выбери строку про деление и убедись, что после обратного действия получилось исходное число.
| Исходное число | Пример | Запись результата | Что важно учесть |
|---|---|---|---|
| Число не оканчивается нулями | 37 × 1000 | 37000 | Приписать три нуля |
| Число оканчивается одним или несколькими нулями | 4200 × 1000 | 4200000 | Сохранить исходные нули и добавить три |
| Число содержит нули внутри записи | 508 × 1000 | 508000 | Сохранить ноль внутри числа |
| Проверка результата делением на 1000 | 37000 : 1000 | 37 | Частное должно совпасть с исходным числом |
Число 37 — натуральное и не оканчивается нулями. Чтобы быстро найти произведение, не нужно перемножать цифры столбиком: достаточно применить правило для тысячи. При этом цифры 3 и 7 сохраняют порядок, а справа добавляются нули.
Количество цифр исходного числа не меняет правило: при умножении на 1000 добавляются именно три нуля. Проверь, что рядом с цифрами 37 стоят три нуля, а не один или два. Ответ: 37 × 1000 = 37000.
В числе 508 ноль стоит между цифрами 5 и 8. Он показывает, что в разряде десятков нет десятков, и помогает правильно прочитать исходное число. Поэтому нельзя вычёркивать его при записи произведения: сначала сохраняем всё число, затем приписываем три нуля.
Если бы ноль исчез, вместо пятисот восьми получилось бы другое число — 58. Значит, исходное значение было бы изменено ещё до умножения. Ответ: 508 × 1000 = 508000.
Число 4200 уже оканчивается двумя нулями, и оба нуля относятся к его записи. При умножении их нельзя стирать: к числу нужно добавить ещё три нуля. После вычисления обратное действие должно вернуть 4200.
При делении на 1000 убираются три добавленных нуля, а исходные нули остаются. Полученное частное совпало с исходным числом, значит, вычисление выполнено верно. Ответ: 4200 × 1000 = 4200000.
Иногда приписывают только один или два нуля, потому что путают умножение на 1000 с умножением на 10 или 100. Проверь, сколько нулей стоит в множителе 1000: их три, значит, справа нужно добавить три нуля. Можно также разделить полученный результат на 1000: если частное не совпало с исходным числом, вычисление нужно проверить.
Другая ошибка — стереть нули, которые уже стоят в конце исходного числа. Так поступают, когда считают, что достаточно оставить в результате только три нуля, но исходные нули тоже сохраняются. Например, при вычислении 4200 × 1000 надо получить 4200000. Сверь результат с исходной записью: все её цифры должны быть на месте, а справа должны появиться ещё три нуля.
Ноль внутри записи иногда удаляют, превращая, например, 508 в 58. Так происходит, если ноль ошибочно принимают за лишний знак, хотя он удерживает место десятков. Сохраняй исходные цифры в прежнем порядке и сравни результат с числом, которое было дано. Если при проверке делением на 1000 получается не 508, значит, в записи допущена ошибка.
Можно неверно сдвинуть цифры по разрядам или неправильно прочитать длинный результат. Причина часто в том, что число нулей не пересчитали или потеряли ноль внутри исходной записи. После вычисления проверь, что цифры исходного числа сохранились, а справа добавлены три нуля. Затем раздели результат на 1000: это проверит и количество нулей, и порядок цифр.
Перед изучением умножения на 1000 нужно уметь читать и записывать натуральные числа, а также различать их разряды. Ещё пригодится умножение на 10 и 100: правило для тысячи получается, если применить умножение на 10 три раза. Такой способ помогает увидеть, как меняется значение цифр в десятичной записи.
Приём пригодится при умножении на другие разрядные единицы и в устных вычислениях с многозначными числами. Умение сохранять нули и следить за разрядами снижает риск ошибки, когда числа становятся длиннее. Проверка делением связывает умножение с обратным действием и помогает самостоятельно оценить ответ.
Почему при умножении на 1000 приписывают именно три нуля?
Тысяча равна 10 × 10 × 10. При умножении на каждую десятку к записи натурального числа добавляется один ноль, поэтому для трёх десяток нужны три нуля.
Что происходит с цифрами числа при умножении на 1000?
Каждая цифра переходит на три разряда влево: например, единицы становятся тысячами, а десятки — десятками тысяч. Поэтому значение числа увеличивается в тысячу раз.
Нужно ли сохранять нули в конце исходного числа?
Да, все нули в исходной записи сохраняются. К ним нужно приписать ещё три нуля: например, 4200 × 1000 = 4200000.
Что делать с нулём внутри числа, например в числе 508?
Ноль внутри числа оставляют на месте вместе с остальными цифрами. К записи 508 приписывают три нуля и получают 508000.
Как проверить результат умножения на 1000?
Раздели полученное число на 1000. Если вычисление верное, получится исходное число: например, 37000 : 1000 = 37.
Умножение на число 1000
