Как получить недостающие данные

Определения и обозначения

Исходные данные — сведения, прямо указанные в условии задачи. Их отличают от вопроса: данные сообщают, что уже известно, а вопрос указывает, что нужно узнать. Например, в задаче «Было 8 книг, 3 подарили. Сколько книг осталось?» числа 8 и 3 — исходные данные, а число оставшихся книг — неизвестное.

Недостающие данные — сведения, которых нет в условии в готовом виде, но которые нужны для ответа и могут быть найдены по известным данным. Например, если известны стоимость нескольких одинаковых тетрадей и их количество, можно вычислить цену одной тетради. Поиск таких данных помогает построить решение, когда прямого действия для ответа недостаточно.

Дополнительные сведения — данные, которые нужно получить из условия или другого источника, чтобы продолжить решение. Они могут понадобиться, если известного в задаче недостаточно для вычисления требуемого значения. Это понятие помогает отличить вычисляемое по условию число от информации, которую ещё необходимо уточнить.

Связь между данными — зависимость между величинами, заданная словами, таблицей, схемой или рисунком. Например, слова «всего» могут показывать, что количество составлено из частей, а схема — какие величины сравниваются. Поняв эту связь, можно выбрать действие и обосновать вычисление.

Как это устроено

Перед вычислениями полезно выяснить, что уже известно, что требуется найти и каких сведений пока не хватает. Иначе можно начать считать, не понимая, к какому значению нужно прийти. Такой разбор помогает увидеть, получится ли ответ сразу или сначала потребуется промежуточный результат. Он также позволяет заметить, если условие не содержит нужной информации.

Связь между величинами часто спрятана в обычных словах, поэтому условие нужно читать внимательно. «На 4 больше» означает, что к одному количеству прибавляют 4, а «в 4 раза больше» — что количество сравнивают умножением на 4. Слова «всего» и «поровну» тоже задают отношения между частями и целым или между равными группами. Однако отдельное слово не заменяет понимания всей ситуации: важно выяснить, какие именно величины сравниваются.

Если искомое нельзя найти сразу, сначала вычисляют недостающее промежуточное значение. Это нужно потому, что условие может описывать задачу в несколько шагов: например, сначала требуется узнать количество в одной группе, а потом — в нескольких. Каждый новый результат используют дальше только тогда, когда он связан с вопросом. В конце проверяют, что вычислено именно то, о чём спрашивалось.

Часть сведений может находиться не в тексте, а в таблице, схеме или рисунке. Чтобы их извлечь, сопоставляют подписи с числами и проверяют, к какой строке, столбцу, части схемы или предмету относится каждое значение. Расположение данных может показывать порядок, состав целого или сравнение величин. Если подпись неясна или значение нельзя связать с нужной величиной, по изображению нельзя делать уверенный вывод.

Иногда необходимых сведений нет ни в тексте, ни в таблице или рисунке, и вычислить их по известным данным нельзя. Тогда одному условию могут соответствовать разные ответы, поэтому выбирать любой из них нельзя. Нужно запросить уточнение или получить дополнительную информацию из надёжного источника. Так различают задачу с недостающим, но вычисляемым значением и задачу, в которой данных действительно не хватает.

Как действовать, если для ответа не хватает данных

Двигайся по шагам: сначала зафиксируй вопрос и известные величины, затем найди связь между ними. После этого вычисли недостающее промежуточное значение и проверь, достаточно ли сведений для ответа. Таблица помогает не потерять последовательность и не принять промежуточный результат за окончательный.

Разбор задач

Задача 1. В коробке 8 красных карандашей и несколько синих. Всего в коробке 13 карандашей. Сколько синих карандашей? Слово «всего» связывает красные и синие карандаши: вместе они составляют 13. Значит, чтобы найти неизвестную часть, нужно из общего количества убрать известную часть.

1. Записываем известное: всего 13 карандашей, из них 8 красных.
2. Находим количество синих: 13 − 8 = 5.
3. Проверяем: 8 + 5 = 13, значит, части дают указанное общее количество.

Ответ: 5 синих карандашей.

Задача 2. За 3 одинаковые тетради заплатили 90 рублей. Сколько стоят 5 таких тетрадей? Общая цена относится сразу ко всем трём тетрадям, а в вопросе требуется цена пяти. Поэтому сначала нужно узнать цену одной тетради: условие об одинаковых тетрадях позволяет разделить общую стоимость поровну.

1. Находим цену одной тетради: 90 : 3 = 30 рублей.
2. Используем промежуточный результат: для пяти тетрадей цена будет в 5 раз больше.
3. Вычисляем общую стоимость: 30 · 5 = 150 рублей.

Промежуточное значение понадобилось, потому что 90 рублей — это стоимость трёх тетрадей, а не одной. Проверка смысла помогает не умножить 90 на 5: такой расчёт относился бы к пяти наборам по три тетради. Ответ: 150 рублей.

Задача 3. В таблице указано, что за 4 дня мастер изготовил 28 деталей. Сколько деталей он изготовит за 7 дней, если каждый день работает одинаково? Таблица сообщает общий результат за несколько дней, но вопрос относится к другому числу дней. Условие о равной ежедневной производительности позволяет сначала узнать, сколько деталей приходится на один день.

1. Находим число деталей за день: 28 : 4 = 7 деталей.
2. Используем одинаковую производительность: за 7 дней мастер изготовит 7 одинаковых дневных количеств.
3. Вычисляем результат: 7 · 7 = 49 деталей.

В ответе указано количество деталей за семь дней, а не за один. Проверка: 49 деталей за 7 дней при равной работе означает по 7 деталей ежедневно; за 4 дня это было бы 28 деталей, как указано в условии. Ответ: 49 деталей.

Типичные ошибки

Начинать вычисления, не выяснив вопрос задачи, — значит рисковать принять промежуточное число за ответ. Так происходит, когда ученик замечает удобные для счёта числа, но не прослеживает, к чему они относятся. Перед решением своими словами сформулируй, что нужно узнать, а после вычислений сравни результат с этим вопросом. Если искомое количество и полученное число отвечают на разные вопросы, решение не закончено.

Не каждое число в условии обязательно участвует в решении: одно из них может относиться к другой величине или быть лишним. Желание использовать все числа приводит к ненужному действию и может изменить смысл задачи. Проверь, объясняет ли каждое выбранное число связь с вопросом. Если не можешь указать, зачем оно нужно, не включай его в вычисление без основания.

Выбирать действие только по одному слову — например, считать, что «больше» всегда означает сложение, — опасно. Слово может обозначать сравнение, а числа могут относиться к разным величинам; кроме того, «на … больше» и «в … раз больше» описывают разные связи. Сначала определи, что именно сравнивают и как. Затем проверь действие на простом смысле ситуации: подходит ли результат к условию?

Нельзя делать вывод, если нужное значение не определяется однозначно. Эту ошибку допускают, когда стараются во что бы то ни стало получить число, хотя в условии нет необходимой связи или сведений. Проверь, можно ли получить разные ответы, не нарушая условие. Если да, нужно уточнить данные, а не выдавать один из вариантов за единственно верный.

Связь с другими темами

Для работы с недостающими данными нужно уметь внимательно читать условие, отличать известное от неизвестного и выполнять действия с натуральными числами. Эти навыки помогают понять, к каким величинам относятся числа и что означает полученный результат. Дальше такой способ рассуждения пригодится в составных текстовых задачах, где ответ находят за несколько шагов. Он также нужен при чтении таблиц и схем и при анализе практических данных.

Что запомнить

• Сначала выясни, что известно и что нужно узнать.
• Недостающие сведения иногда можно вычислить по связи, указанной в условии.
• Промежуточный результат может понадобиться для ответа на главный вопрос.
• Таблицы, схемы и рисунки тоже содержат данные задачи.
• Каждое действие должно опираться на условие.
• Если информации недостаточно для единственного ответа, нужны дополнительные сведения.