З Задачи с недостающими данными

Определения и обозначения

Задача с недостающими данными — задача, в условии которой не хватает сведений для однозначного ответа. Даже если в задаче есть числа, их может быть недостаточно для вычисления искомой величины. Это определение помогает отличить неполное условие от задачи, решение которой просто требует нескольких действий.

Недостающие данные — сведения, без которых нельзя выполнить нужные вычисления или выбрать единственный ответ. Например, для нахождения периметра прямоугольника нужны длина и ширина. Понимание, какой величины не хватает, помогает не добавлять данные наугад, а точно объяснить проблему.

Дополнительное условие — новое сведение, которое дополняет условие задачи и может сделать ответ определённым. Оно должно быть связано с тем, что нужно найти: случайное число не обязательно поможет решить задачу. Этот термин нужен, чтобы правильно сформулировать, чего именно не хватает.

Однозначное решение — ответ, который определяется условием задачи единственным образом. Если условию подходят два или больше разных ответа, решение не является однозначным. Проверка на единственность не даёт принять один возможный вариант за обязательный.

Как это устроено

Сначала отдели известные данные от искомого: выпиши числа и факты из условия, а затем сформулируй вопрос своими словами. Это нужно потому, что не каждое указанное число обязательно участвует в нахождении ответа. Когда известно, что именно требуется найти, легче заметить, какие сведения должны быть связаны с этой величиной.

Имеющихся данных может не хватать, если одно и то же условие допускает разные значения искомой величины. Чтобы это проверить, попробуй представить два разных случая, которые не противоречат условию. Если оба случая возможны, задача пока не определяет один ответ, даже если для одного из случаев удалось выполнить вычисления.

Чтобы выяснить, каких именно сведений не хватает, найди зависимость между известными величинами и искомой. Например, в формуле периметра прямоугольника P = 2(a + b) участвуют и длина, и ширина; одного значения недостаточно. Такой поиск превращает общий вывод «данных мало» в точное указание, какое значение или условие нужно добавить.

Достаточность условия проверяют попыткой составить решение. Если из данных получается вычислить искомую величину и результат единственный, условие достаточно; если для вычисления приходится выбирать неизвестное значение, нужно проверить, не меняет ли оно ответ. Так можно отличить настоящую нехватку данных от ошибки в рассуждении или вычислениях.

Дополнительное условие включают в решение вместе с первоначальными сведениями, а затем снова проверяют, возможны ли разные ответы. Оно должно закрывать именно тот пробел, который мешал связать известные величины с искомой. Если после добавления условия всё ещё остаются разные варианты, значит, данных по-прежнему недостаточно.

Как оценить данные в условии задачи

Заполняй таблицу по порядку: сначала зафиксируй, что дано и что нужно найти, а после этого анализируй связь между величинами. Если обнаружились разные подходящие ответы, запиши, какое сведение позволит выбрать один из них. В конце проверь, что это условие действительно устраняет неоднозначность.

Разбор задач

Задача. Длина прямоугольника равна 8 см. Можно ли определить его периметр? Укажите, каких данных не хватает. Чтобы ответить, нужно вспомнить, какие стороны участвуют в периметре, и проверить, известны ли их длины. Само число 8 см сообщает только длину прямоугольника.

1. Обозначим ширину прямоугольника буквой b, а длину — a. По условию a = 8 см, а ширина не указана.
2. Используем формулу периметра: P = 2(a + b). После подстановки известной длины получаем P = 2(8 + b), поэтому результат зависит от неизвестной ширины.
3. Разные ширины дадут разные периметры и не противоречат условию. Значит, нужны данные о ширине либо другое условие, которое позволяет её определить.

Ответ: определить периметр нельзя; не хватает ширины прямоугольника или условия, по которому её можно найти. Задача. В одной коробке 6 карандашей. Сколько карандашей в трёх коробках, если неизвестно, одинаковое ли число карандашей в каждой коробке? Проверим, можно ли перенести число из одной коробки на остальные.

1. Известно число карандашей только в одной коробке — 6; требуется найти общее количество в трёх коробках.
2. Умножение 6 на 3 даст 18 лишь при условии, что во всех коробках одинаковое число карандашей. В исходном условии этого нет.
3. В двух других коробках может быть другое количество карандашей, поэтому общая сумма не определяется. Чтобы получить ответ 18, нужно добавить условие, что во всех трёх коробках одинаковое содержимое.

Ответ: без дополнительного условия число карандашей определить нельзя; если в каждой коробке по 6 карандашей, их будет 18. Задача. Автомобиль проехал некоторое расстояние за 3 часа. Можно ли определить пройденное расстояние? Здесь важно установить, какие величины связывает движение и какие из них известны.

1. Для равномерного движения расстояние вычисляют по формуле s = vt, где s — расстояние, v — скорость, t — время. В условии известно только время: t = 3 часа.
2. Без скорости разные поездки могут иметь разное расстояние за те же три часа. Поэтому заданного времени недостаточно для единственного ответа.
3. Достаточно добавить скорость автомобиля: тогда расстояние находится умножением скорости на 3 часа. Например, при скорости 60 км/ч получится s = 60 · 3 = 180 км; это значение относится именно к добавленному условию о скорости.

Ответ: по одному времени расстояние определить нельзя; достаточно знать скорость автомобиля, поскольку расстояние равно произведению скорости на время.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сразу выполнять действия со всеми числами из условия, не выяснив, связаны ли они с вопросом. Так поступают, потому что числа часто кажутся подсказкой к вычислению, но их может быть недостаточно или часть из них может оказаться лишней. Проверь себя: назови, какую величину означает каждый используемый элемент и почему выбранное действие отвечает на вопрос.

Вторая ошибка — считать, что любое добавленное число делает задачу решаемой. Это происходит, когда ищут недостающее число, не проверив связь между величинами; например, число, не относящееся к ширине, не поможет найти периметр. Для проверки сформулируй, в какую зависимость входит дополнительное сведение и устраняет ли оно нужный пробел.

Третья ошибка — принять один возможный ответ за единственный. Ученик может найти подходящий пример и остановиться, не проверив другие значения. Попробуй подобрать ещё один вариант, который тоже не противоречит условию: если такой вариант существует, ответ не определён однозначно.

Четвёртая ошибка — путать нехватку данных с трудностью вычислений. Большие числа или несколько действий делают решение сложнее, но сами по себе не означают, что условие неполное. Проверь, можно ли получить ответ из данных по известным правилам; если связь определена, трудность вычислений не мешает однозначному решению.

Связь с другими темами

Для анализа условия нужно уметь выделять его данные и вопрос, а также различать известные и неизвестные величины. Затем в рассуждении используют формулы и зависимости между величинами: например, связь расстояния, скорости и времени. Проверка достаточности данных пригодится при составлении и решении текстовых задач, а также при анализе математических моделей. Во всех этих случаях важно выяснять не только, можно ли выполнить вычисление, но и действительно ли оно даёт единственный ответ.

Что запомнить

• Сначала выясни, что известно и что требуется найти.
• Проверь, хватает ли данных для ответа.
• Если возможны разные ответы, условие не определяет искомую величину однозначно.
• Недостающие сведения нужно назвать точно.
• Дополнительное условие должно быть связано с искомой величиной.
• После добавления данных проверь, стал ли ответ единственным.