"Математика", Чекин А.Л.
Увеличение и уменьшение в несколько раз помогают сравнивать величины и находить их новые значения. Если величина увеличилась в k раз, её умножают на k; если уменьшилась в k раз — делят на k. Число k называют коэффициентом изменения: оно показывает, во сколько раз изменилась величина. Эти действия нужны, чтобы решать задачи о количестве предметов, длине, стоимости и других величинах, не путая кратное изменение с прибавлением или вычитанием нескольких единиц.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Увеличение величины в несколько раз — это получение нового значения умножением исходной величины на число раз. Например, если число 5 увеличивают в 3 раза, получают 5 · 3 = 15. Такое действие позволяет узнать, сколько будет предметов в нескольких одинаковых группах или как изменится величина по заданному правилу.
Уменьшение величины в несколько раз — это получение нового значения делением исходной величины на число раз. Если 20 конфет уменьшают в 4 раза, вычисляют 20 : 4 = 5. Это понятие нужно, когда исходную величину делят на равные части и требуется определить размер одной части или новое значение.
Коэффициент увеличения или уменьшения — число, которое показывает, во сколько раз меняется величина. В записи a · k или a : k буква a обозначает исходную величину, а k — коэффициент изменения. По нему можно понять, какое действие выбрать, и проверить результат обратным действием.
Кратное сравнение величин — сравнение, при котором отношение большей величины к меньшей показывает, во сколько раз одна величина больше другой. Например, если одна длина равна 18 см, а другая — 6 см, то 18 : 6 = 3. Значит, первая длина в 3 раза больше второй; такое сравнение помогает находить коэффициент изменения.
Увеличение в несколько раз выражают умножением, потому что каждую исходную единицу берут указанное число раз. Если в одной коробке 6 карандашей, то в четырёх одинаковых коробках будет четыре группы по 6 карандашей. Это можно записать как 6 + 6 + 6 + 6, а коротко — 6 · 4. Поэтому умножение подходит и тогда, когда одна величина повторяется несколько раз.
Уменьшение в несколько раз выражают делением, потому что исходную величину делят на указанное число равных частей. Например, разделить 24 на 6 равных частей — значит найти, сколько приходится на одну часть: 24 : 6 = 4. Смысл не в том, чтобы убрать из числа 6 единиц, а в том, чтобы узнать значение, которое в 6 раз меньше исходного. Для целочисленного ответа исходное число должно делиться на коэффициент без остатка.
Чтобы найти результат, сначала определи исходную величину и коэффициент изменения. Затем выясни, величина увеличивается или уменьшается: для увеличения вычисли a · k, для уменьшения — a : k. Например, при исходном значении 12 и коэффициенте 5 увеличение даст 60, а уменьшение — 2, если деление выполняется нацело. Внимательно прочитай, что именно требуется найти: условие может содержать несколько действий.
Проверка обратным действием показывает, верно ли выполнено вычисление. После увеличения раздели полученный результат на коэффициент: если ответ правильный, вернётся исходное значение. После уменьшения умножь результат на коэффициент, чтобы получить исходную величину. Например, для 12 · 5 = 60 проверка выглядит так: 60 : 5 = 12.
Изменение в несколько раз нельзя путать с изменением на несколько единиц. Если к 8 прибавить 3, получится 11 — это на 3 больше; если 8 увеличить в 3 раза, получится 24. В первом случае используют сложение, а во втором — умножение. Аналогично, «на 3 меньше» означает вычесть 3, а «в 3 раза меньше» — разделить на 3.
| Действие | Исходная величина | Коэффициент | Результат |
|---|---|---|---|
| Увеличение в k раз | a | k | a · k |
| Уменьшение в k раз | a | k | a : k |
| Проверка увеличения | a · k | k | (a · k) : k = a |
| Проверка уменьшения | a : k | k | (a : k) · k = a |
Найди в таблице нужный вид изменения и подставь вместо a исходную величину, а вместо k — коэффициент. Для увеличения выбери умножение, для уменьшения — деление. Две нижние строки показывают, каким обратным действием можно проверить вычисление.
В коробке 6 карандашей. Сколько карандашей будет в 4 таких коробках? Нужно найти общее количество, если в каждой коробке предметов поровну. Число 6 — исходная величина, а 4 показывает, сколько одинаковых групп нужно взять. Значит, количество увеличивается в 4 раза.
Ответ: 24 карандаша.
Длина ленты 36 см. Её разрезали на части, каждая из которых в 6 раз короче ленты. Какова длина одной части? Выражение «в 6 раз короче» означает, что длину нужно уменьшить в 6 раз, то есть разделить на 6. Здесь не требуется вычитать 6 см: речь идёт о кратном изменении.
Ответ: длина одной части — 6 см.
В первом пакете 8 яблок, а во втором яблок в 3 раза больше. Сколько яблок в обоих пакетах вместе? Сначала нужно найти, сколько яблок во втором пакете: это значение увеличено относительно первого в 3 раза. Затем сложить количество яблок в двух пакетах, поскольку требуется узнать общее число.
Ответ: в обоих пакетах 32 яблока.
При увеличении в несколько раз иногда складывают исходное число с коэффициентом. Так путают изменение «в 3 раза» с увеличением «на 3 единицы»: для 8 это дало бы 11 вместо 24. Чтобы проверить себя, спроси, повторяются ли равные группы, и проверь результат делением на коэффициент.
При уменьшении в несколько раз могут вычесть коэффициент из исходной величины. Например, вместо 24 : 6 ошибочно считают 24 − 6, потому что не замечают разницу между «в 6 раз меньше» и «на 6 меньше». Уточни смысл слов в условии: для кратного уменьшения нужно делить, а проверка умножением должна вернуть исходное число.
Услышав выражение «в 5 раз меньше», некоторые умножают на 5, выбирая действие только по слову «меньше» или «больше». Но коэффициент показывает отношение величин: если новое значение меньше исходного, его находят делением. Проверь направление изменения и выполни обратное действие, чтобы убедиться, что результат согласуется с условием.
В задаче можно правильно найти изменённое количество, но забыть выполнить следующий шаг. Например, вычислить яблоки во втором пакете и остановиться, хотя спрашивают общее количество в обоих. Перед ответом перечитай вопрос и проверь, найдено ли именно то, что требуется. Если нужно общее количество, сложи значения после того, как найдёшь неизвестное.
Для решения таких задач нужно уметь умножать и делить натуральные числа, а также понимать смысл этих действий. Тема связана с отношениями величин и сравнением «во сколько раз больше или меньше»: коэффициент изменения можно найти делением большей величины на меньшую. Эти умения пригодятся в задачах на пропорции и масштаб, где величины связаны постоянным отношением. Они также помогают находить стоимость нескольких одинаковых предметов по цене одного.
Что значит увеличить число в несколько раз?
Это значит умножить число на указанное количество раз. Например, увеличить 7 в 3 раза — значит вычислить 7 · 3 = 21.
Почему при уменьшении в несколько раз нужно делить?
При уменьшении величину распределяют на указанное число равных частей и берут одну такую часть. Поэтому, чтобы уменьшить 24 в 6 раз, вычисляют 24 : 6 = 4.
Чем «в 3 раза больше» отличается от «на 3 больше»?
«В 3 раза больше» означает умножить исходную величину на 3. «На 3 больше» означает прибавить к ней 3 единицы: например, для числа 8 это 24 и 11 соответственно.
Как определить, какое действие выбрать в задаче?
Найди исходную величину и выясни, просят ли изменить её в несколько раз или на несколько единиц. При изменении в несколько раз умножай для увеличения и дели для уменьшения; при изменении на несколько единиц используй сложение или вычитание.
Как проверить ответ при увеличении или уменьшении величины?
Результат увеличения раздели на коэффициент: должно получиться исходное число. Результат уменьшения умножь на коэффициент — тоже должно вернуться исходное число.
Увеличение и уменьшение в одно и то же число раз
