"Математика", Чекин А.Л.
Умножение столбиком помогает быстро и надёжно находить произведение, когда один из множителей — двузначное число. Для этого множитель раскладывают на десятки и единицы, отдельно умножают на каждую его цифру, а затем складывают промежуточные результаты. При записи важно учитывать разряды: произведение на десятки сдвигают влево. Понимание этого правила помогает избежать ошибок и проверить вычисление другим способом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение столбиком — запись вычисления, в которой разряды множителей располагают друг под другом, а промежуточные результаты записывают по разрядам. Такая запись помогает видеть, какие цифры относятся к единицам, десяткам и другим разрядам. Благодаря этому длинное вычисление можно выполнить по небольшим шагам. Если расположить цифры неровно, при сложении легко перепутать разряды.
Неполное произведение — результат умножения числа на одну из цифр двузначного множителя. При умножении, например, на 24 получают два таких результата: один — от умножения на 4, другой — от умножения на 2 десятка. Они называются неполными, потому что по отдельности ещё не дают искомое произведение. Их складывают, чтобы получить общий результат.
Разрядное слагаемое двузначного числа — слагаемое, которое соответствует цифре числа с учётом её места. Например, 34 = 30 + 4: цифра 3 означает три десятка, а цифра 4 — четыре единицы. Такое разложение показывает, на какие части нужно распределить умножение. Оно помогает понять, почему один промежуточный результат относится к десяткам, а другой — к единицам.
Сумма неполных произведений — результат сложения произведений на единицы и десятки множителя; она равна общему произведению. Например, при умножении на 24 складывают результат умножения на 4 и результат умножения на 20. Этот термин описывает завершающий шаг вычисления столбиком. Если оба промежуточных результата найдены и записаны по разрядам правильно, их сумма и будет ответом.
Двузначный множитель представляют как сумму десятков и единиц, потому что его цифры обозначают разные количества. В числе 26 цифра 2 означает 20, а цифра 6 означает 6, поэтому 26 = 20 + 6. Умножить число на 26 можно как умножить его отдельно на 20 и на 6, а потом сложить результаты. Это следует из распределительного свойства умножения: умножение на сумму равносильно сумме произведений.
Сначала умножают на цифру единиц второго множителя, чтобы получить первое неполное произведение. Начинают с разряда единиц первого числа и двигаются влево, как при письменном умножении на однозначное число. Так каждая цифра результата сразу попадает в соответствующий разряд. Если цифры множителей выровнены по единицам, первую строку удобно записать прямо под исходным числом.
Затем умножают на цифру десятков, но результат относится уже к десяткам, а не к единицам. Например, цифра 2 в числе 26 означает 20, поэтому фактически нужно умножить на 20. Чтобы показать этот разрядный сдвиг, второе неполное произведение начинают записывать на один столбец левее. Иногда вместо сдвига в конце явно записывают ноль, но в стандартной записи столбиком достаточно сдвинуть строку.
При умножении одной цифры на другую может получиться двузначное число, и тогда требуется перенос. В текущем разряде оставляют только единицы результата, а число десятков переносят к следующему разряду влево. Там его прибавляют к произведению цифр, прежде чем записать новую цифру ответа. Перенос сохраняет полное значение вычисления: без него потерялись бы десятки, полученные на предыдущем шаге.
После двух умножений складывают неполные произведения, располагая единицы под единицами, десятки под десятками и так далее. Сдвиг второй строки уже учитывает, что она представляет произведение на десятки. Поэтому перед сложением нужно проверить расположение строк, а не просто складывать цифры по краям. Полученная сумма и есть искомое произведение; её можно проверить, снова разложив двузначный множитель на разрядные слагаемые.
| Шаг | Что делаем | Как записываем |
|---|---|---|
| Запись множителей | Располагаем числа одно под другим | Цифры единиц ставим в одном столбце |
| Умножение на цифру единиц | Находим первое неполное произведение | Записываем результат по разрядам |
| Умножение на цифру десятков | Находим второе неполное произведение | Сдвигаем запись на один разряд влево |
| Сложение неполных произведений | Складываем полученные результаты | Выравниваем цифры по разрядам |
| Проверка результата | Повторно считаем по разложению множителя | Складываем произведения на десятки и единицы |
Пользуйся таблицей как порядком действий: переходи к следующему шагу, только закончив предыдущий. Перед сложением проверь, что второе неполное произведение сдвинуто, а переносы учтены. Для проверки выполни вычисление через разложение двузначного множителя на десятки и единицы.
Число 14 состоит из 10 и 4, поэтому нужно найти произведения 23 · 4 и 23 · 10, а затем сложить их. В первом действии перенос не понадобится: 3 · 4 = 12, однако здесь он всё же возникает, поэтому пример не подходит для условия о вычислении без переноса. Выполним вычисление точно: при умножении 23 на 4 переносим 1 десяток, затем 2 · 4 + 1 = 9. Так наглядно видно, почему полезно следить за переносом даже в простом примере.
Ответ: 322. Проверим разложением: 23 · 14 = 23 · (10 + 4) = 230 + 92 = 322. Этот способ подтверждает и правильность промежуточных произведений, и итоговую сумму.
Множитель 26 — это 20 + 6, поэтому сначала найдём произведение 47 на 6, затем на 20. В первом действии появится перенос: 7 · 6 = 42, и 4 десятка нужно будет прибавить к следующему результату умножения цифр. Во втором действии важно отделить 20 от 2 единиц, сдвинув строку. После этого останется сложить два неполных произведения.
Ответ: 1222. Проверка по распределительному свойству: 47 · 26 = 47 · (20 + 6) = 940 + 282 = 1222. Перенос в первом неполном произведении учтён при вычислении десятков.
Здесь 42 = 40 + 2, а в первом множителе есть ноль в разряде десятков. Ноль не убирают: он занимает своё место и помогает правильно определить разряды результата. Сначала умножим 308 на 2, затем на 4 десятка. Второе неполное произведение нужно выровнять так, чтобы его единицы десятков совпали с разрядом десятков общего результата.
Ответ: 12 936. В записи числа 308 ноль сохраняет место десятков, а при сложении неполных произведений строки выравниваются по разрядам. Проверка совпала с вычислением столбиком, значит результат верен.
Второе неполное произведение иногда записывают без сдвига, потому что воспринимают цифру десятков множителя как обычное число единиц. Тогда, например, произведение на 20 ошибочно складывается как произведение на 2. Проверь себя: назови разряд каждой цифры второго множителя и убедись, что вторая строка сдвинута на один столбец. Можно также проверить разложением множителя на десятки и единицы.
При переносе забывают прибавить сохранённые десятки к следующему разряду. Это случается, если записать перенос над строкой и не вернуться к нему при продолжении умножения. Проверяй каждое действие: к произведению следующей пары цифр прибавляй перенесённое число до записи результата. Полезно отмечать перенос над тем разрядом, где он должен быть учтён.
Неполные произведения или их сумму записывают со смещением, если цифры множителей изначально выровнены неправильно. Тогда единицы могут оказаться под десятками, и даже верные числа дадут неверную сумму. Перед вычислением поставь цифры единиц друг под другом, а перед сложением проверь каждый столбец. Особое внимание нужно уделять нулям: они тоже занимают разрядное место.
Иногда складывают только последние цифры неполных произведений или принимают первую промежуточную строку за ответ. Причина — спешка или потеря места в алгоритме: после первого умножения работу ещё не закончили. Сверься с последовательностью шагов: нужны оба неполных произведения, затем их сумма. В конце проверь результат умножением на сумму десятков и единиц множителя.
Для вычислений столбиком нужны таблица умножения и умение письменно умножать на однозначное число. При сложении промежуточных результатов пригодится сложение многозначных чисел по разрядам. Распределительное свойство объясняет, почему произведение на двузначное число равно сумме неполных произведений: множитель раскладывается на десятки и единицы. Этот алгоритм станет основой письменного умножения многозначных чисел, а оценка и проверка результата помогут замечать ошибки.
Почему при умножении на цифру десятков второе неполное произведение сдвигают влево?
Цифра десятков обозначает не отдельные единицы, а десятки. Поэтому результат такого умножения записывают в разряде десятков, то есть на один разряд левее. Например, умножение на 3 в числе 34 означает умножение на 30.
Нужно ли записывать ноль в конце второго неполного произведения?
Можно записать ноль, чтобы явно показать умножение на десятки: например, при умножении на 20 результат оканчивается нулём. В обычной записи столбиком этот ноль часто не пишут, а вместо этого сдвигают вторую строку на один разряд влево. Главное — не использовать оба приёма одновременно, иначе получится лишний разряд.
Что делать, если при умножении цифр получается число больше 9?
В текущий разряд записывают цифру единиц полученного числа, а десятки переносят в следующий разряд. При следующем умножении перенесённые десятки прибавляют к результату. Например, при умножении 7 на 6 получается 42: записывают 2, а 4 переносят.
В каком порядке записывать цифры множителей столбиком?
Первый множитель записывают сверху, а второй — под ним, так чтобы цифры единиц стояли друг под другом. Цифру десятков второго множителя записывают левее цифры единиц. Тогда промежуточные результаты можно правильно выровнять по разрядам.
Как проверить умножение на двузначное число?
Разложите двузначный множитель на десятки и единицы и повторно вычислите сумму соответствующих произведений. Например, для 23 · 14 проверка выглядит так: 23 · (10 + 4) = 230 + 92 = 322. Если число совпало с ответом столбиком, вычисление подтверждено.
З Запись умножения на двузначное число столбиком
